Cóncavo

El término cóncavo se usa para describir una superficie que tiene una curvatura hacia adentro, siendo su parte central la más hundida o deprimida.

Por tanto, decimos, por ejemplo, que una excavación hacia el subsuelo es cóncava.

Asimismo, es posible analizar si hay figuras geométricas que, también, son cóncavas. Por ejemplo, una curva cóncava es aquella con forma de U invertida. Una manera de recordar fácilmente el aspecto de una función cóncava es el de una cara triste.

Aunque el uso que hemos hecho de la concavidad ha sido en relación a una curva, lo cierto es que también es aplicable también a funciones matemáticas y polígonos, como veremos más adelante.

¿Cómo saber si una función es cóncava?

Si la segunda derivada de una función es menor que cero en un punto, entonces la función es cóncava en ese punto.

Lo anterior se puede expresar de la siguiente forma:

f»(x) < 0

Por ejemplo, tenemos la función f(x) = -x² +2x + 5. Su primera derivada es f'(x) = -2x +2 y su segunda derivada sería f»(x) =-2. Por tanto, la función f(x) = x² + x + 3 es cóncava para todo valor de x, como vemos en el gráfico inferior, que es una parábola:

Ahora imaginemos esta otra función f(x) = x³-5x² +7. Su primera derivada f'(x) = 3x² -10x y su segunda derivada f»(x) = 6x -10. Una vez tenemos calculada la segunda derivada debemos comprobar para qué valores de x, la función es convexa.

Así pues, igualamos la segunda derivada a 0:

f»(x) = 6x-10=0

6x=10

x=1,67

Por tanto, la función es cóncava cuando x es menor a 1,67, pues la segunda derivada de la ecuación es negativa. Podemos comprobarlo reemplazando distintos valores de x. Asimismo, la función es convexa cuando x es mayor a 1,67, como observamos en el imagen que se ofrece a continuación:

Polígono cóncavo

Un polígono cóncavo es aquel donde, para unir dos de sus puntos, se debe trazar una línea recta que está fuera de la figura (una diagonal exterior). Asimismo, al menos uno de sus ángulos interiores es mayor a 180º. Es el caso de, por ejemplo, un cuadrilátero cóncavo como el que observamos abajo:

Lo contrario a un polígono cóncavo es uno convexo. Este es aquel donde todos los ángulos interiores son menores 180º y, para unir dos puntos cualesquiera de la figura, se puede trazar una línea recta que se mantiene dentro del polígono.