Regla de Sarrus

La regla de Sarrus es un método que permite calcular rápidamente el determinante de una matriz cuadrada con dimensión de 3×3 o mayor.

En otras palabras, la regla de Sarrus consiste en dibujar dos conjuntos de dos triángulos opuestos mediante los elementos de la matriz. El primer conjunto serán 2 triángulos que cruzarán la diagonal principal y el segundo conjunto serán 2 triángulos que cruzarán la diagonal secundaria.

Definimos: 

DP_T1: Primer triángulo que cruza la diagonal principal (DP) de la matriz. 

DP_T2: Segundo triángulo que cruza la diagonal principal (DP) de la matriz. 

DS_T1: Primer triángulo que cruza la diagonal secundaria (DS) de la matriz. 

DS_T2: Segundo triángulo que cruza la diagonal secundaria (DS) de la matriz. 

Procedimiento

Matemáticamente, definimos la matriz Z_3×3como:

1. Dibujamos la diagonal principal (DP) encima de la matriz Z_3×3:

            DP={z₁₁, z₂₂, z₃₃}.

2. Dibujamos el primer conjunto de triángulos que cruzan la diagonal principal:

• Primer triángulo (marcado en rojo) (T1):

                        DP_T1={z₂₁, z₃₂, z₁₃}. 

• Segundo triángulo (marcado en blanco) (T2):

                        DP_T2={z₁₂, z₂₃, z₃₁}.

Este segundo triángulo no hace falta marcarlo ya que se dibuja como el opuesto o complementario del primero.

3. Multiplicación de los elementos de la diagonal principal, del primer triángulo y del segundo.

• DP= z₁₁ · z₂₂ · z₃₃
• T1= z₂₁ · z₃₂ · z₁₃
• T2= z₁₂ · z₂₃ · z₃₁

Una vez multiplicados, los sumamos:

• DP + T1 + T2=(z₁₁ · z₂₂ · z₃₃)+( z₂₁ · z₃₂ · z₁₃)+( z₁₂ · z₂₃ · z₃₁)

4. Dibujamos la diagonal secundaria (DS) encima de la matriz Z_3×3:

            DS={z₃₁, z₂₂, z₁₃}.

5. Dibujamos el primer conjunto de triángulos que cruzan la diagonal principal:

• Primer triángulo (marcado en rosa) (T1):

                        DP_T1={z₁₁, z₃₂, z₂₃}. 

• Segundo triángulo (marcado en blanco) (T2):

                        DP_T2={z₂₁, z₁₂, z₃₃}.

Este segundo triángulo no hace falta marcarlo ya que se dibuja como el opuesto o complementario del primero.

6. Multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria, del primer triángulo y del segundo:

• DS= z₃₁ · z₂₂· z₁₃
• T1= z₁₁· z₃₂· z₂₃
• T2= z₂₁· z₁₂· z₃₃

Una vez multiplicados, los restamos:

• – DS – T1 – T2= -( z₃₁ · z₂₂· z₁₃) – ( z₁₁· z₃₂· z₂₃) – ( z₂₁· z₁₂· z₃₃)

7. Una vez tenemos los 2 triángulos que cruzan la diagonal principal y los 2 triángulos que cruzan la diagonal secundaria, juntamos ambos resultados y obtenemos el determinante de la matriz Z_3×3.

Determinante de Z_3×3 = |Z_3×3| = DP + T1 + T2- DS – T1 – T2 = (z₁₁ · z₂₂ · z₃₃)+(z₂₁· z₃₂ · z₁₃)+(z₁₂ · z₂₃ · z₃₁) -(z₃₁ · z₂₂· z₁₃) – (z₁₁· z₃₂· z₂₃) – (z₂₁· z₁₂· z₃₃)

Ejemplo regla de Sarrus

Encuentra el determinante de la matriz A_3×3: