Suma de matrices

La suma de matrices es una operación lineal que consiste en unificar los elementos de dos o más matrices que coincidan en posición dentro de sus respectivas matrices y que estas tengan el mismo orden.

En otras palabras, el sumatorio de una o más matrices es la unión de los elementos que tengan la misma posición dentro de las matrices y que estas tengan el mismo orden.

Fórmula para sumar matrices 

Procedimiento

Para sumar matrices debemos: 

1. Comprobar el orden de las matrices, tal que: 
   • Si el orden de las matrices es el mismo, entonces se pueden sumar las matrices. 
   • Si el orden de las matrices es distinto, entonces no podemos sumar las matrices. 
2. Sumar los elementos que tienen la misma posición dentro de sus respectivas matrices.

El sumatorio de matrices comparte las mismas características que cuando sumamos números y variables en álgebra, con la diferencia de que aquí tenemos “coordenadas”. Es decir, tendremos en cuenta la posición del elemento dentro de cada matriz. La posición de cada elemento se denota con subíndices, tal que: 

Entonces, el sumatorio de estos tres elementos es posible dado que todos tienen la misma posición. En otras palabras, tienen los mismos números en los subíndices. 

Si la posición de los elementos fuera distinta, no podríamos sumarlos. 

Propiedades de la suma de matrices

Dadas tres matrices cualquiera X, Z, Y tal que: 

• Propiedad asociativa: 

Z + (X + Y) = (Z + X) + Y

Es equivalente primero sumar dos matrices y luego otra matriz al resultado anterior. 

• Propiedad conmutativa: 

Z + X + Y = X + Y + Z

El orden del sumatorio no es relevante. 

• Elemento neutro:

Dada una matriz cero O del mismo orden que Z, X, Y, tal que:

Entonces, 

X + O = O + X = X

El efecto neutro se produce cuando sumamos la matriz objetivo con una matriz cero. El resultado es la misma matriz. 

• Propiedad distributiva: 

( X + Z )^h= X^h+ Z^h

A diferencia de las matrices, las potencias que no cumplen la propiedad distributiva en la suma. 

Ejemplo general

Sumatorio de dos matrices cuadradas de orden 2:

Sumatorio de dos matrices cuadradas de orden 3:

Pregunta

¿Para sumar matrices debemos comprobar que sean matrices cuadradas?

Para sumar dos o más matrices primero tenemos que comprobar que tengan el mismo orden. Podemos sumar cualquier matriz con otras matrices, aunque estas no sean matrices cuadradas.  

Ejemplo teórico

Dadas las matrices Z, X, Y: 

Sumamos: