Unión de sucesos

La unión de sucesos es una operación cuyo resultado está compuesto por todos los sucesos elementales no repetidos que dos o más conjuntos tienen en común y no en común.

Es decir, dados dos conjuntos A y B, la unión de A y B estaría formada por todos los conjuntos que no se repiten y que tienen en común A y B. Intuitivamente, la probabilidad de la unión de sucesos de A y B implicaría responder a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que salga A o de que salga B?

El símbolo de la unión de sucesos es U. De tal forma que si queremos notar matemáticamente la unión de dos sucesos B y D, lo notaríamos como: B U D.

Hasta ahora hemos visto, y hemos indicado, la unión de dos sucesos. Por ejemplo, A U B ó B U D. Pero, ¿Qué ocurre si tenemos tres, cuatro e incluso cien sucesos?

A esto es a lo que llamamos generalización, es decir, una fórmula que sirva para que notemos la operación unión de sucesos en estos casos. Si tenemos 8 sucesos, en lugar de escribir los diez sucesos haremos uso de la siguiente notación:

A cada suceso, en lugar de llamarle A, B o cualquier letra, le vamos a llamar Si. S es el suceso y el subíndice i indica el número. De tal forma que tendremos, aplicado al ejemplo de 10 sucesos, lo siguiente:

Lo que hemos hecho es aplicar la notación anterior y desarrollarla. Ahora bien, no siempre necesitaremos hacerlo. Sobre todo cuando se trata de un gran número de sucesos.

Lo que indica el concepto de sucesos disjuntos es que dos sucesos no tienen elementos en común.

Cuando son disjuntos, la operación unión de sucesos es simple. Únicamente hay que sumar las probabilidades de ambos, para obtener la probabilidad de que ocurra uno u otro suceso. Sin embargo, cuando los sucesos son no disjuntos hay que añadir un pequeño detalles. Hay que eliminar los elementos repetidos. Por ejemplo:

Supongamos un espacio de resultados que vaya del 1 al 5. Los sucesos son los siguientes:

Suceso A: {1,2,4} -> Probabilidad del 60% = 0,6

Suceso B: {1,4,5} -> Probabilidad del 60% = 0,6

La operación A U B, intuitivamente sería sumar los sucesos de A y los sucesos de B, pero si hacemos esto, la probabilidad sería 1,2 (0,6+0,6). Y tal como indican los axiomas de probabilidades la probabilidad siempre debe estar entre 0 y 1. ¿Cómo lo solucionamos? Restando la intersección los sucesos A y B. Es decir, quitando los elementos que se repiten:

A + B = {1,1,2,4,4,5}
A ∩ B = {1,4}

A U B = A + B – (A ∩ B) = {1,2,4,5}

Pasando a probabilidades, tendríamos que:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,6 +0,6 – 0,4 = 0,8 (80%)

En efecto, la probabilidad de que salga el 1 o el 2 o el 4 o el 5. Suponiendo que todos los números tienen igual probabilidad de suceder es del 80%.

Gráficamente quedaría así:

La unión de sucesos es un tipo de operación matemática. Algunos tipos de operación son también la suma, la resta, la multiplicación. Cada una de ellas tienen una serie de propiedades. Por ejemplo, sabemos que el resultado de sumar 3 + 4, es exactamente el mismo que el de sumar 4 +3. En este punto, la unión de sucesos tiene varias propiedades que merece la pena conocer:

• Conmutativa: Quiere decir que el orden en que se escriba no altera el resultado. Por ejemplo:
  • A U B = B U A
  • C U D = D U C
• Asociativa: Suponiendo que existen tres sucesos, nos da igual cual hacer primero y cuál después. Por ejemplo:
  • (A U B) U C = A U (B U C)
  • (A U C) U B = (A U B) U C
• Distributiva: Cuando incluimos el tipo de operación intersección, se cumple la propiedad distributiva. Basta con ver el siguiente ejemplo:
  • A U ( B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

Un ejemplo sencillo de la unión de dos sucesos A y B sería el siguiente. Supongamos el caso del lanzamiento de un dado perfecto. Un dado que tiene seis caras enumeradas del 1 al 6. De tal forma que los sucesos se definen a continuación:

A: Que salga mayor que 2. {3,4,5,6} en probabilidad es 4/6 => P(A) = 0,67

C: Que salga cinco. {5} en probabilidad es 1/6 => P(C) = 0,17

¿Cuál es la probabilidad de A U C?

P(A U C) = P(A) + P(C) – P(A ∩ C)

Como P(A) y P(C) ya lo tenemos, vamos a calcular P(A ∩ C)

A ∩ C = {5} en probabilidades P(A ∩ C) = 1/6 = 0,17

El resultado final es:

P(A U C) = P(A) + P(C) – P(A ∩ C) = 0,67 + 0,17 – 0,17 = 0,67 (67%)

La probabilidad de que salga mayor que 2 o de que salga cinco es del 67%.