Distribución conjunta

Una distribución conjunta es la distribución de probabilidad de la intersección de las realizaciones de dos o más variables aleatorias cualesquiera. 

En otras palabras, una distribución conjunta es la distribución de probabilidad que forman dos o más variables aleatorias cuando sus realizaciones se producen simultáneamente. 

Representación de la distribución conjunta

Cuando solo intervienen dos variables aleatorias recibe el nombre de distribución bivariada dado que hay dos variables aleatorias. En el caso de tener más variables, se denominaría multivariada.

El nombre largo de distribución conjunta es distribución de probabilidad conjunta. El nombre se abrevia dado que ya se conoce que esas distribuciones son de probabilidad. En inglés se denomina “joint distribution”. 

Teniendo en cuenta que existen las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas, esta diferencia también será presente para las distribuciones conjuntas. 

Distribución conjunta para variables aleatorias discretas

Sean dos variables aleatorias discretas X y W y las realizaciones de X y W sean x y w. Entonces, (X,W) tendrá una distribución conjunta a partir de la función de densidad de probabilidad conjunta de (X,W). 

Función de densidad de probabilidad conjunta (fdpc)

La fdpc nos da la probabilidad que la realización x y la realización w se produzcan a la vez. Para saber la probabilidad de que eso ocurra, tenemos que multiplicar la probabilidad de x condicionada a w por la probabilidad de que ocurra x. En otras palabras, la probabilidad de que ocurra w dado x y la probabilidad que se produzca x. De este modo obtendremos la probabilidad conjunta de x y w. 

Dado que tenemos dos variables, podemos expresar la fdpc desde el punto de vista de la variable aleatoria X o desde el punto de vista de la variable aleatoria W. 

Cumpliendo que:

Esta restricción es que la suma de que las probabilidades conjuntas tiene que dar 1, dado que son probabilidades y estas siempre están comprendidas entre 0 y 1. 

Distribución conjunta para variables aleatorias continuas

Sean dos variables aleatorias continuas X y W y las realizaciones de X y W sean x y w. Entonces, (X,W) tendrá una distribución conjunta a partir de la función de densidad de probabilidad conjunta de (X,W). 

Función de densidad de probabilidad conjunta (fdpc)

La lógica para el caso continuo es el mismo que para el caso discreto. 

Estas funciones se denominan funciones de densidad de probabilidad marginal. La primera para la variable aleatoria X y la segunda para la variable aleatoria W. 

Cumpliendo que

Esta restricción es que la suma de las probabilidades conjuntas tiene que dar 1, dado que son probabilidades y estas siempre están comprendidas entre 0 y 1. 

Aplicación

En economía es muy frecuente que en los eventos participen más de una variable aleatoria, por tanto, surge la necesidad de analizar cómo se distribuyen estas variables en una misma distribución.