Estadístico

Un estadístico es cualquier función real medible de la muestra de una variable aleatoria.

El concepto de estadístico es un concepto de estadística avanzada. La definición es corta y sin duda abstracta. Es un concepto muy amplio, pero, como veremos a continuación, muy simple.

Dada la dificultad del término realizaremos la descripción por partes. Así, en primer lugar, será necesario describir qué entendemos por función real medible. Y, ya en segunda instancia, definir qué entendemos como muestra de una variable aleatoria.

Un estadístico es una función real medible

Cuando nos referimos a función, estamos hablando de una función matemática. Por ejemplo:

Y = 2X

Según los valores que tome X, entonces Y tomará uno u otro valor. Supongamos que X vale 2. Entonces, Y valdrá 4, resultado de multiplicar 2 por 2. Si X vale 3, entonces Y valdrá 6. Resultado de multiplicar 2 por 3.

Claro que, un estadístico no es una función cualquiera. Es una función real y medible. Este concepto matemático es francamente sencillo. Real, porque da lugar a números reales y medible porque se puede medir.

La estadística tiene innumerables aplicaciones a la vida diaria. Por tanto, tiene sentido que los valores a los que pueda dar lugar un estadístico sean reales y se puedan medir.

Muestra de una variable aleatoria

Muchas veces hemos escuchado el concepto de muestra. O el concepto de una muestra representativa. Para este caso, no distinguiremos entre los distintos tipos de muestra. Así, utilizaremos el concepto de muestra en el sentido amplio.

Imaginemos que queremos saber el gasto medio de las familias mexicanas en comprar ropa. Evidentemente, no tenemos recursos suficientes para preguntar a toda la población mexicana. ¿Qué hacemos? Lo estimamos a través de una muestra. Una muestra de, por ejemplo, 50.000 familias.

Esa muestra, todo sea dicho, tendrá que cumplir unas características concretas. Es decir, debe ser representativa y contener en ella muchas familias de diferentes zonas geográficas, diferentes gustos, religiones o poder adquisitivo. Si no, no obtendremos un valor fiable.

Una variable aleatoria

Ahora bien, es una muestra, pero una muestra de una variable aleatoria. ¿Qué entendemos por variable aleatoria? Una variable aleatoria, en palabras sencillas, es una variable difícil de predecir. Es decir, en condiciones parecidas, toma valores diferentes.

Por ejemplo, el número que saldrá al lanzar un dado es una variable aleatoria. Aunque siempre lo lancemos en condiciones muy muy parecidas, obtendremos resultados diferentes.

Ahora que ya entendemos la definición técnica del concepto, toca reunir todo lo aprendido. Sabemos qué es una función real y medible. Y, también sabemos qué es la muestra de una variable aleatoria.

Cómo a pesar de todo, el concepto sigue siendo abstracto, la mejor manera de entenderlo será con un ejemplo.

Ejemplo de estadístico

Supongamos que en un colegio hay 100 alumnos. Un profesor, nos propone como actividad, intentar estimar cual es la nota promedio de los alumnos de dicho colegio en la asignatura de matemáticas.

Dado que no tenemos tiempo, ni recursos para preguntar a los 100 alumnos, decidimos preguntar a 10 alumnos. A partir de ahí, intentaremos estimar la nota media. Tenemos los siguientes datos:

Antes de calcular la nota media, siguiendo el propósito de este artículo, aplicaremos lo aprendido sobre los estadísticos sobre este ejemplo.

Sabemos que un estadístico es una función real y medible de la muestra de una variable aleatoria. Tenemos la muestra de una variable aleatoria (la tabla anterior). Con lo cual, cualquier función real y medible de dicha muestra será un estadístico. Por ejemplo:

Estadístico 1: Alumno 1 + Alumno 2 + Alumno 3 +….+ Alumno 10 = 60

Estadístico 2: Alumno 1 – Alumno 2 + Alumno 3 – Alumno 4 + …- Alumno 10 = 2

Estadístico 3: -Alumno 1 – Alumno 2 – Alumno 3 -….- Alumno 10 = -60

Estos tres estadísticos son funciones reales y medibles de la muestra. Con lo cual, son estadísticos. A nivel teórico todo esto tiene un sentido. El sentido es que no todos los estadísticos serán válidos para estimar según qué parámetros.

En este punto, entra el concepto de estimador. Un estimador es un estadístico al que se le van a exigir ciertas condiciones para que pueda calcular de forma fiable el parámetro buscado.

Por ejemplo, para estimar el parámetro que conocemos como “Nota media” o “Nota promedio” necesitamos un estimador. A ese estimador lo conocemos como “media”. La media es un estimador. Es decir, un estadístico al que se le exigen ciertas condiciones para poder calcular con ciertas garantías la nota promedio.

Si queremos saber la nota media, tendremos que sumar todas las notas y dividir entre el número total de alumnos. Es decir:

Nota media = (4+8+6+7+9+9+7+2+5+3) / 6 = 6

La fórmula de la media, es la misma, sea cual sea la muestra. Siempre utiliza todos los datos que la muestra contiene. En este caso tenemos datos de 10 alumnos y la fórmula de la media utiliza los 10 datos. Si tuviésemos 20 datos de 20 alumnos, utilizaría los 20. A los estadísticos que cumplen esta característica se les conoce como estadísticos suficientes.

En conclusión, un estadístico es cualquier función real y medible de una muestra. Una vez se tienen varios estadísticos posibles, se le exigen ciertas condiciones para poder considerarlos como estimadores. Y, gracias a los estimadores, podemos intentar “predecir” ciertos valores a partir de muestras más pequeñas.