Método de sustitución

El método de sustitución es un sistema de resolución de ecuaciones que consiste en despejar una de las incógnitas y sustituir la expresión en la otra ecuación del sistema.

En adición, si el método de sustitución no nos interesa debido a cómo está construido el sistema, existen otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones, tales como los métodos de igualación y de reducción.

También es importante tener en cuenta que este método solo puede resolver sistemas de ecuaciones lineales. Esto quiere decir que ecuaciones con incógnitas elevadas a un exponente mayor que 1 no son compatibles con esta clase de método.

Características

Cuando al menos una de las incógnitas del sistema es posible despejarla de una forma sencilla, el método de sustitución es la forma más directa de resolver el sistema. Esto sucede porque es un método eficaz con sistemas de ecuaciones lineales. Con lineal nos referimos a un sistema en el que las incógnitas están elevadas como máximo a 1, y con no lineal cuando hablamos de ecuaciones que no son de primer grado.

Esto es debido a que la dificultad de un sistema disminuye en gran medida cuando se reduce a operar con 2 incógnitas, que cuando son 3. A continuación se va a mostrar un caso de un sistema de 2 incógnitas y más adelante, en el apartado ejemplo, se va a resolver paso a paso un sistema con 3 incógnitas.

En primer lugar, para despejar ‘a’ en la primera ecuación del sistema, se haría tal que así: a = 10 – b.

Luego, afirmando que a = 10 – b, podemos sustituir de la siguiente forma: 2(10 – b) + b = 30. Como resultado nos da b = -10. Si volvemos a sustituir esta vez b por su valor numérico, conseguiremos el valor de a: a + (-10) = 10. Por lo que a = 20.

Se puede comprobar el resultado de cada ecuación con los resultados obtenidos de a y b.

Ejemplo práctico con el método de sustitución

Aunque se ha explicado de forma teórica el método de sustitución, la mejor forma de poder ver su funcionamiento es con un sistema de ecuaciones de 3 incógnitas y 3 ecuaciones:

1. El primer paso es despejar una incógnita de una ecuación. En este caso será la y de la primera ecuación del sistema: y = 14 – 6x + z.

2. En segundo lugar, utilizamos la expresión resultante para sustituir la incógnita y en la segunda y tercera ecuación.

3. En tercer lugar, procedemos a despejar la incógnita x utilizando la expresión resultante del anterior paso perteneciente a la tercera ecuación del sistema de ecuaciones que estamos tratando:

4. El cuarto y último paso consistiría en despejar z sabiendo el valor numérico de x, y a su vez, despejar y sabiendo x y z:

Para despejar y hemos utilizado la primera ecuación del sistema de ecuaciones. Así pues, los resultados finales de las incógnitas son x = (74/37), y = 3 y z = 1.