Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada donde los elementos fuera de la diagonal principal son simétricamente iguales pero los que están por debajo de la diagonal principal llevan un signo negativo.
En otras palabras, una matriz antisimétrica es una matriz que tiene el mismo número de filas (n) y de columnas (m) y los elementos en ambos lados de la diagonal principal son complementarios.
Dado que los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal se compensan, los elementos de la diagonal principal son ceros.
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Características de la matriz antisimétrica
Las características de una matriz antisimétrica son:
- Matriz cuadrada.
- Matriz simétrica + signo negativo (-) en los elementos por debajo de la diagonal principal.
- Elementos de la diagonal principal son ceros (0).
Matriz antisimétrica
Dada una matriz cuadrada AS,
Podemos ver como en ambos lados de la diagonal principal aparecen los mismos elementos pero con la particularidad de que los elementos por debajo de la diagonal principal tienen un signo negativo delante. Además, la diagonal principal está compuesta por ceros.
La matriz antisimétrica y los espejos
De la misma forma que la matriz simétrica, la matriz antisimétrica también se puede entender a través del ejemplo del espejo.
Si nos miramos en el espejo y levantamos el brazo derecho, veremos que la persona del espejo levanta su brazo izquierdo. En otras palabras, el movimiento del espejo se complementa con el nuestro y, por tanto, la suma de ambos resultaría en cero.
Podemos expresar la idea anterior de la siguiente manera y deducir:
(Levantar la mano derecha) – (Levantar la mano izquierda) = 0
(Levantar la mano derecha) = (Levantar la mano izquierda)
La diagonal principal actúa como espejo y vemos elementos contrarios en ambos lados de la diagonal principal. La función neutral (=) se asigna a la diagonal principal.
Propiedad
- La matriz traspuesta de una matriz antisimétrica es igual a la matriz antisimétrica multiplicada por (-1).
En otras palabras, sería como añadir un signo negativo delante de la matriz antisimétrica.
Matemáticamente,
Podemos ver que con ambos procedimientos llegamos al mismo resultado: haciendo la matriz traspuesta o multiplicando por (-1) a la matriz antisimétrica.
Matriz no simétrica vs Matriz antisimétrica vs Matriz simétrica
El ejemplo del espejo en el caso de la matriz simétrica es suficiente con que refleje el mismo movimiento, es decir, si levantamos un brazo que se vea un brazo levantado pero no hace falta especificar cuál es. En el caso de la matriz antisimétrica, necesitamos comprobar qué brazo vemos en el espejo y determinar si se trata de una matriz antisimétrica.
Si levantamos un brazo y en el espejo vemos que …
- Se levanta el mismo brazo, desde el punto de vista de la persona del espejo, entonces, es una matriz simétrica.
- Se levanta el brazo contrario, desde el punto de vista de la persona del espejo, entonces, es una matriz antisimétrica.
- Si no se levanta ningún brazo o se levantan más de uno, desde el punto de vista de la persona del espejo, entonces es es una matriz no simétrica.
