Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

El método de mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) trata el problema de la endogeneidad de una o más variables explicativas en un modelo de regresión múltiple.

Su principal objetivo es evitar que una o más variables explicativas endógenas de un modelo estén correlacionadas con el término de error y poder realizar estimaciones eficientes de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) sobre el modelo inicial. Las herramientas a utilizar son variables instrumentales (VI), modelos estructurales y ecuaciones reducidas.

En otras palabras, MC2E nos ayuda a realizar una estimación con garantías cuando una o más variables explicativas endógenas están correlacionadas con el término de error y hay exclusión de variables explicativas exógenas. MC2E hace referencia al procedimiento a seguir para tratar este problema de endogeneidad.

• En la primera etapa se aplica un “filtro” para eliminar la correlación con el término de error.
• En la segunda etapa se obtienen los valores ajustados a partir de los cuales se pueden realizar buenas estimaciones MCO sobre la forma reducida del modelo original.

El modelo estructural

Un modelo estructural representa una ecuación donde se pretende medir la relación causal entre las variables y la atención se centra en los regresores (β_j). El Modelo 1 es una regresión lineal múltiple con dos variables explicativas: Y₂ y Z₁

Modelo 1 ⇒ Y₁= β₀ + β₁·Y₂ + β₂·Z₁ + u₁

Las variables explicativas pueden dividirse en dos tipos: variables explicativas endógenas y variables explicativas exógenas. En el Modelo 1, la variable explicativa endógena es Z₁ y la variable explicativa exógena es Y₂ . La variable endógena viene dada por el modelo (es el resultado del modelo) y está correlacionada con u₁. La variable exógena la tomamos como dada (es necesaria para que el modelo expulse un resultado) y no está correlacionada con u₁.

Procedimiento MC2E

En lo que sigue vamos a explicar detalladamente el procedimiento para realizar una estimación a través del método de mínimos cuadrados en dos etapas.

Primera etapa

1. Suponemos que tenemos dos variables explicativas exógenas que están excluidas en el Modelo 1, siendo Z₂ y Z₃ . Recordemos que ya tenemos una variable explicativa exógena en el Modelo 1, Z₁ , por tanto, en total ahora tendremos tres variables explicativas exógenas: Z₁ , Z₂ y Z₃

Las restricciones de exclusión son:

• Z₂ y Z₃ no aparezcan en el Modelo 1, por tanto, que estén excluidas.

• Z₂ y Z₃  no estén correlacionadas con el error.

2. Tenemos que obtener la ecuación en la forma reducida para Y₂. Para ello, sustituimos:

• La variable endógena Y₁ por Y₂ .

• Los regresores β_j por π_j .

• El error u₁  por v₂ .

La forma reducida para Y₂  del Modelo 1 es:

Y₂= π₀ + π₁· Z₁ + π₂ · Z₂ + π₃ · Z₃ + v₂  

En el caso de que Z₂ y Z₃ estén correlacionadas con Y₂ , se podría utilizar el método de Variables Instrumentales (VI) pero terminaríamos con dos estimadores de VI y en tal caso los dos estimadores serían ineficientes o imprecisos. Decimos que un estimador es más eficiente o preciso cuánto más pequeña sea su varianza. El estimador más eficiente sería el que tenga la mínima varianza posible.

3. Suponemos que la combinación lineal anterior es la mejor Variable Instrumental (VI), denominamos Y₂^* para Y₂  y quitamos el error (v₂) de la ecuación:

Y₂^* = π₀ + π₁· Z₁ + π₂ · Z₂ + π₃ · Z₃ + v₂ ∀ π₂ ≠ 0 , π₃ ≠ 0

Segunda etapa

4. Realizamos la estimación MCO sobre la forma reducida del Modelo 1 anterior y obtenemos los valores ajustados (los representamos con el acento circunflejo “^”). El valor ajustado es la versión estimada de Y₂^* que a su vez no está correlacionada con u₁ .

5. Obtenida la estimación anterior, se puede utilizar como VI para Y₂ .

Resumen del proceso

Método de Mínimos Cuadrados en Dos Etapas (MC2E):

• Primera etapa: Realizar regresión en el modelo del circunflejo (punto 4) donde justamente se obtienen los valores ajustados. Este valor ajustado es la versión estimada de Y₂^* y, por tanto, no está correlacionada con el error u₁ . La idea es aplicar un filtro de no correlación del valor ajustado con el error u₁ .

• Segunda etapa: Realizar regresión MCO sobre la forma reducida del Modelo 1 (punto 2) y obtenemos los valores ajustados, . Dado que se utiliza el valor ajustado y no el valor original (Y₂) que no cunda el pánico si las estimaciones de MC2E no coinciden con las estimaciones de MCO sobre la forma reducida del Modelo 1.