Modelo AR(1)

El modelo AR(1), es un modelo autorregresivo que está construido únicamente sobre un retardo.

En otras palabras, la autoregresión de primer orden, AR(1), retrocede la autorregresión en un período de tiempo. 

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Fórmula de un AR(1)

Aunque la notación puede variar de unos autores a otros, la forma genérica de representar un AR(1) sería la siguiente:

Es decir, según el modelo AR(1), la variable y en el momento del tiempo t, es igual a una constante (c), más la variable en (t-1) multiplicada por el coeficiente, más el error. Conviene destacar que la constante ‘c’ puede ser un número positivo, negativo o cero.

Respecto al valor de theta, es decir, el coeficiente que multiplicado a y(t-1), puede tomar diversos valores. Sin embargo, a grandes rasgos podemos resumirlo en dos:

Theta mayor o igual que 1

| Theta | menor o igual que 1:

Cálculo de la esperanza y la varianza del proceso

Ejemplo práctico

Suponemos que queremos estudiar el precio de los forfaits para esta temporada 2019 (t) a través de un modelo autoregresivo de orden 1 (AR(1)). Es decir, vamos a retroceder un período (t-1) en la variable dependiente forfaits para poder hacer la autoregresión. En otras palabras, vamos a hacer una regresión de forfaits_t sobre forfaits_t-1. 

El modelo sería: 

El significado de autoregresión radica en que la regresión se hace sobre la misma variable forfaits pero en distinto período de tiempo (t-1 y t).

Empleamos logaritmos porque las variables están expresadas en unidades monetarias. En especial, utilizamos logaritmos naturales porque su base es el número e, empleado para capitalizar rentas futuras. 

Tenemos los precios de los forfaits desde 1995 hasta 2018:

Año	Forfaits (€)	Año	Forfaits (€)
1995	32	2007	88
1996	44	2008	40
1997	50	2009	68
1998	55	2010	63
1999	40	2011	69
2000	32	2012	72
2001	34	2013	75
2002	60	2014	71
2003	63	2015	73
2004	64	2016	63
2005	78	2017	67
2006	80	2018	68
	2019	?

Procedimiento

Basándonos en los datos desde 1995 hasta 2018, calculamos los logaritmos naturales de los forfaitspara cada año: 

Año	Forfaits (€)	ln_t	ln_t-1	Año	Forfaits (€)	ln_t	ln_t-1
1995	32	3,4657		2007	88	4,4773	4,3820
1996	44	3,7842	3,4657	2008	40	3,6889	4,4773
1997	50	3,9120	3,7842	2009	68	4,2195	3,6889
1998	55	4,0073	3,9120	2010	63	4,1431	4,2195
1999	40	3,6889	4,0073	2011	69	4,2341	4,1431
2000	32	3,4657	3,6889	2012	72	4,2767	4,2341
2001	34	3,5264	3,4657	2013	75	4,3175	4,2767
2002	60	4,0943	3,5264	2014	71	4,2627	4,3175
2003	63	4,1431	4,0943	2015	73	4,2905	4,2627
2004	64	4,1589	4,1431	2016	63	4,1431	4,2905
2005	78	4,3567	4,1589	2017	67	4,2047	4,1431
2006	80	4,3820	4,3567	2018	68	4,2195	4,2047
2019	?	?	4,2195

Entonces para hacer la regresión, utilizamos los valores de ln_t como variable dependiente y los valores ln_t-1 como variable independiente. Los valores en rallados quedan fuera de la regresión.

En excel: = ESTIMACION.LINEAL(ln_t;ln_t-1;verdadero;verdadero)

Seleccionar tantas columnas como regresores y 5 filas, poner la formula en la primera celda y CTRL+ENTER. 

Obtenemos los coeficientes de la regresión:

En este caso, el signo del regresor es positivo. Entonces, un aumento de 1% en el precio los forfaits en la temporada anterior (t-1) se traslada en un aumento de 0,53% en el precio de los forfaits para esta temporada (t). Los valores entre paréntesis debajo de los coeficientes son los errores típicos de las estimaciones.

Sustituimos:

forfaits_t= forfaits₂₀₁₉

forfaits_t-1= forfaits₂₀₁₈= 4,2195 (número en negrita en la tabla anterior). 

Entonces, 

Año	Forfaits (€)	Año	Forfaits (€)
1995	32	2007	88
1996	44	2008	40
1997	50	2009	68
1998	55	2010	63
1999	40	2011	69
2000	32	2012	72
2001	34	2013	75
2002	60	2014	71
2003	63	2015	73
2004	64	2016	63
2005	78	2017	67
2006	80	2018	68
	2019	65