Modelo AR(1)

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El modelo AR(1), es un modelo autorregresivo que está construido únicamente sobre un retardo.

En otras palabras, la autoregresión de primer orden, AR(1), retrocede la autorregresión en un período de tiempo. 

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Fórmula de un AR(1)

Aunque la notación puede variar de unos autores a otros, la forma genérica de representar un AR(1) sería la siguiente:

Modelo Ar 1 Formula

Es decir, según el modelo AR(1), la variable y en el momento del tiempo t, es igual a una constante (c), más la variable en (t-1) multiplicada por el coeficiente, más el error. Conviene destacar que la constante ‘c’ puede ser un número positivo, negativo o cero.

Respecto al valor de theta, es decir, el coeficiente que multiplicado a y(t-1), puede tomar diversos valores. Sin embargo, a grandes rasgos podemos resumirlo en dos:

Theta mayor o igual que 1

| Theta | menor o igual que 1:

Cálculo de la esperanza y la varianza del proceso

Media De Un Ar 1
Varianza De Un Ar 1

Ejemplo práctico

Suponemos que queremos estudiar el precio de los forfaits para esta temporada 2019 (t) a través de un modelo autoregresivo de orden 1 (AR(1)). Es decir, vamos a retroceder un período (t-1) en la variable dependiente forfaits para poder hacer la autoregresión. En otras palabras, vamos a hacer una regresión de forfaitssobre forfaitst-1. 

El modelo sería: 

Modelo Ar(1) 1

El significado de autoregresión radica en que la regresión se hace sobre la misma variable forfaits pero en distinto período de tiempo (t-1 y t).

Empleamos logaritmos porque las variables están expresadas en unidades monetarias. En especial, utilizamos logaritmos naturales porque su base es el número e, empleado para capitalizar rentas futuras. 

Tenemos los precios de los forfaits desde 1995 hasta 2018:

AñoForfaits ()AñoForfaits ()
199532200788
199644200840
199750200968
199855201063
199940201169
200032201272
200134201375
200260201471
200363201573
200464201663
200578201767
200680201868
 2019?

Procedimiento

Basándonos en los datos desde 1995 hasta 2018, calculamos los logaritmos naturales de los forfaitspara cada año: 

AñoForfaits ()ln_tln_t-1AñoForfaits ()ln_tln_t-1
1995323,4657 2007884,47734,3820
1996443,78423,46572008403,68894,4773
1997503,91203,78422009684,21953,6889
1998554,00733,91202010634,14314,2195
1999403,68894,00732011694,23414,1431
2000323,46573,68892012724,27674,2341
2001343,52643,46572013754,31754,2767
2002604,09433,52642014714,26274,3175
2003634,14314,09432015734,29054,2627
2004644,15894,14312016634,14314,2905
2005784,35674,15892017674,20474,1431
2006804,38204,35672018684,21954,2047
2019??4,2195

Entonces para hacer la regresión, utilizamos los valores de ln_t como variable dependiente y los valores ln_t-1 como variable independiente. Los valores en rallados quedan fuera de la regresión.

En excel: = ESTIMACION.LINEAL(ln_t;ln_t-1;verdadero;verdadero)

Seleccionar tantas columnas como regresores y 5 filas, poner la formula en la primera celda y CTRL+ENTER. 

Obtenemos los coeficientes de la regresión:

Modelo Ar(1) 2

En este caso, el signo del regresor es positivo. Entonces, un aumento de 1% en el precio los forfaits en la temporada anterior (t-1) se traslada en un aumento de 0,53% en el precio de los forfaits para esta temporada (t). Los valores entre paréntesis debajo de los coeficientes son los errores típicos de las estimaciones.

Sustituimos:

forfaitstforfaits2019

forfaitst-1forfaits2018= 4,2195 (número en negrita en la tabla anterior). 

Modelo Ar(1) 3

Entonces, 

AñoForfaits ()AñoForfaits ()
199532200788
199644200840
199750200968
199855201063
199940201169
200032201272
200134201375
200260201471
200363201573
200464201663
200578201767
200680201868
 201965

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