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Producto escalar de vectores con definición geométrica

Redactado por: Paula Rodó
Revisado por: José Francisco López
Actualizado el 1 abril 2021

Tabla de contenidos

  • Definición técnica
  • Fórmula del producto escalar
  • Procedimiento
  • Ejemplo del producto escalar de dos vectores
  • Gráfica

El producto escalar de dos vectores según su definición geométrica es la multiplicación de sus módulos por el coseno del ángulo que forman ambos vectores.

En otras palabras, el producto escalar de dos vectores es hacer el producto de los módulos de ambos vectores y el coseno del ángulo.

Fórmula del producto escalar

Dados dos vectores, el producto escalar se calcula de la siguiente forma: 

Producto Escalar En Definición Geométrica
Producto escalar en definición geométrica

Se llama producto escalar porque el resultado del módulo siempre será un escalar, de la misma forma que también lo será el coseno de un ángulo. El resultado de esta multiplicación será un número que expresa una magnitud y no tiene dirección. En otras palabras, el resultado del producto escalar será un número, no un vector. Por tanto, el número resultante lo expresaremos como un número cualquiera y no como un vector.

Para saber la magnitud de cada vector se calcula el módulo. Entonces, si multiplicamos la magnitud de uno de los vectores (v) por la magnitud del otro vector (a) por el coseno del ángulo que forman ambos, sabremos cuánto miden los dos vectores en total.

Esquema
Esquema

El módulo del vector ( v) por el coseno del ángulo también se conoce como la proyección del vector v sobre el vector a.

Proyección
Proyección
Ver otra forma de calcular el producto escalar de dos vectores

Procedimiento

  1. Calcular los módulos de los vectores.

Dado un vector cualquiera de tres dimensiones,

Vector 1
Vector

La fórmula para calcular el módulo de un vector es:

Módulo
Módulo

Cada subíndice del vector indica las dimensiones, en este caso, el vector (a) es un vector de tres dimensiones porque tiene tres coordenadas.

2. Calcular el coseno del ángulo.

Coseno De Un Ángulo
Coseno de un ángulo

Ejemplo del producto escalar de dos vectores

Calcula el producto escalar de los siguientes vectores de tres dimensiones conociendo que el ángulo que forman es 45 grados.

Ejemplo 23
Ejemplo

Para calcular el producto escalar primero tenemos que calcular el módulo de los vectores:

Cálculo De Los Módulos
Cálculo de los módulos

Una vez hemos calculado los módulos de los dos vectores y conocemos el ángulo, solo falta multiplicarlos:

Cálculo Del Producto Escalar 1
Cálculo del producto escalar

Por tanto, el producto escalar de los vectores anteriores es de 1,7320 unidades.

Gráfica

El aspecto que tendrían los siguientes vectores en un gráfico de tres dimensiones sería el siguiente:

Vectores En Un Espacio Tridimensional
Vectores en un espacio tridimensional

Para el vector (c) podemos ver que la componente z es cero, por tanto, será paralelo al eje de las abscisas. En cambio, la componente z del vector (b) es positiva, por tanto, podemos ver cómo se inclina hacia arriba. Ambos vectores están en el cuadrante de los positivos en cuanto a la componente, dado que es positiva y es la misma.

  • Diccionario económico
  • Matemáticas

¿Quieres referenciar este artículo?

Paula Rodó, 07 de mayo, 2021
Producto escalar de vectores con definición geométrica. Economipedia.com

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    Índice

    • Definición técnica
    • Fórmula del producto escalar
    • Procedimiento
    • Ejemplo del producto escalar de dos vectores
    • Gráfica

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