Vector normal
El vector normal es un vector que se le conoce por ser perpendicular a un plano y se emplea para construir la ecuación general del plano.
En otras palabras, el vector normal es un vector que forma un ángulo de 90 grados con el plano y forma parte de la ecuación general del plano.
Fórmula del vector normal
El vector normal es un vector perpendicular y se indica como una n. Si el vector normal fuese un vector de tres dimensiones se escribiría de la siguiente forma:
Gráfico
El vector normal representado en un plano se vería de la siguiente manera:
Cómo se ve en el gráfico, el vector normal es perpendicular al plano porque forma un ángulo de 90 grados. Entonces, cualquier vector que sea perpendicular al plano será un vector normal a ese plano.
La mayoría de veces aparece el vector normal partiendo del plano y siendo positivo en la segunda dimensión (izquierda), pero también nos podemos encontrar que sea negativo. En otras palabras, que el vector parta del plano pero que se dirija hacia abajo (derecha).
El vector normal y la ecuación general del plano
¿Qué tienen en común el vector normal y la ecuación general del plano? Veámoslo.
La ecuación general del plano se expresa de la siguiente forma:
Donde los coeficientes de las variables son el vector normal. Por tanto, cuando tengamos una ecuación de un plano y nos pidan encontrar el vector normal, solo tenemos que extraer los coeficientes de las variables y ponerlos como las coordenadas del vector normal. Tal que así:
Ejemplo del vector normal
Comprueba que el vector a y el vector v son vectores normales al siguiente plano:
- Primero escribimos la ecuación general del plano y la ecuación del plano del ejercicio:
2. Identificamos los coeficientes de la ecuación del plano:
- A = -1
- B = 2
- C = 0
- D = 0
3. Sustituimos la información anterior en las coordenadas del vector normal:
4. Comprobamos si las coordenadas de los vectores dados coinciden con las coordenadas del vector normal al plano:
Por tanto, el vector a es un vector normal al plano porque sus coordenadas coinciden con el vector normal. En cambio, el vector v no es un vector normal al plano porque sus coordenadas son diferentes que las coordenadas del vector normal.
Entonces, hemos comprobado que el vector a es un vector perpendicular al plano y que el vector v no lo es.
