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Vectores perpendiculares

Redactado por: Paula Rodó
Revisado por: José Francisco López
Actualizado el 1 abril 2021
2 min
  • Fórmula de dos vectores perpendiculares
  • Gráfico de dos vectores perpendiculares
  • Demostración
  • Ejemplo

Los vectores perpendiculares en el plano son dos vectores que forman un ángulo de 90 grados y su producto escalar es cero.

En otras palabras, dos vectores serán perpendiculares cuando formen un ángulo recto y, por tanto, su producto escalar será cero.

Para calcular si un vector es perpendicular a otro podemos emplear la fórmula del producto escalar desde el punto de vista geométrico. Esto es, teniendo en cuenta que el coseno del ángulo que forman será cero. Por tanto, para conocer qué vector es perpendicular a otro, solo tendríamos que igualar a 0 el producto escalar y encontrar las coordenadas del misterioso vector perpendicular.

Fórmula de dos vectores perpendiculares

La idea principal de la perpendicularidad de dos vectores es que su producto escalar sea 0.

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Tal que dados 2 vectores perpendiculares cualesquiera, su producto escalar será: 

Vectores Perpendiculares
Vectores perpendiculares

La expresión se lee: “el vector a es perpendicular al vector b”.

Podemos expresar la fórmula anterior en coordenadas:

Coordenadas
Expresión en coordenadas

Gráfico de dos vectores perpendiculares

Los vectores anteriores representados en un plano tendrían la siguiente forma:

Vectores Perpendiculares En El Plano 1
Vectores perpendiculares en el plano

Donde podemos extraer la siguiente información:

Perpendicularidad De Los Vectores Y El Plano
Perpendicularidad de los vectores y el plano

El vector perpendicular al plano se lo conoce como vector normal y se indica con una n, tal que:

Vector Normal
Vector normal

Demostración

Podemos demostrar la condición de que el producto de dos vectores perpendiculares es cero con unos pocos pasos. Por lo tanto, solo tenemos que recordar la fórmula del producto escalar desde el punto de vista geométrico.

  1. Escribir la fórmula del producto escalar desde el punto de vista geométrico:
Producto Escalar
Producto escalar

2. Sabemos que dos vectores perpendiculares forman un ángulo de 90 grados. Entonces, alpha = 90, tal que así:

Producto Vectorial Con El Coseno Sustituido
Producto escalar con el coseno sustituido

3. A continuación, calculamos el coseno de 90:

Coseno Del Ángulo
Coseno del ángulo

4. Vemos que al hacer la multiplicación del coseno de 90 con el producto de los módulos, se elimina todo porque se están multiplicando por 0.

Producto Vectorial De Dos Vectores Perpendiculares
Producto escalar de dos vectores perpendiculares

5. Finalmente la condición será:

Condición De Perpendicularidad De Dos Vectores
Condición de perpendicularidad de dos vectores

Ejemplo

Expresa la ecuación en función de un vector cualquiera que sea perpendicular al vector v.

Para hacer esto definimos un vector p cualquiera y dejamos como incógnitas sus coordenadas dado que nos las conocemos.

Ejemplo 29
Ejemplo

Entonces, aplicamos la fórmula del producto escalar:

Producto Escalar 1
Producto escalar

Finalmente, expresamos el producto escalar en coordenadas:

Producto Escalar En Coordenadas
Producto escalar en coordenadas

Resolvemos la ecuación anterior:

Ecuación En Función Del Vector P
Ecuación en función del vector p

Entonces, esta sería la ecuación en función del vector p que sería perpendicular al vector v.

. 

  • Diccionario económico
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