Vectores perpendiculares: qué son y cómo calcularlos

¿Qué son los vectores perpendiculares?

Los vectores perpendiculares son aquellos que forman un ángulo de 90 grados entre sí. La clave para identificar esto es que su producto escalar siempre será cero.

Vectores perpendiculares: Explicación sencilla

En otras palabras, si dos vectores forman un ángulo recto, son perpendiculares. Es decir, el producto escalar entre ellos da como resultado cero.

Si quieres saber si un vector es perpendicular a otro, solo necesitas aplicar la fórmula del producto escalar. Aquí entra el coseno del ángulo que los dos vectores forman, que será cero en este caso. Para encontrar el vector perpendicular, igualas el producto escalar a 0 y resuelves para descubrir las coordenadas del vector buscado.

Fórmula de dos vectores perpendiculares

La idea principal de la perpendicularidad de dos vectores es que su producto escalar sea 0.

Tal que dados 2 vectores perpendiculares cualesquiera, su producto escalar será: 

La expresión se lee: “el vector a es perpendicular al vector b”.

Podemos expresar la fórmula anterior en coordenadas:

Gráfico de dos vectores perpendiculares

Los vectores anteriores representados en un plano tendrían la siguiente forma:

Donde podemos extraer la siguiente información:

El vector perpendicular al plano se lo conoce como vector normal y se indica con una n, tal que:

Demostración

Podemos demostrar la condición de que el producto de dos vectores perpendiculares es cero con unos pocos pasos. Por lo tanto, solo tenemos que recordar la fórmula del producto escalar desde el punto de vista geométrico.

1. Escribir la fórmula del producto escalar desde el punto de vista geométrico:

2. Sabemos que dos vectores perpendiculares forman un ángulo de 90 grados. Entonces, alpha = 90, tal que así:

3. A continuación, calculamos el coseno de 90:

4. Vemos que al hacer la multiplicación del coseno de 90 con el producto de los módulos, se elimina todo porque se están multiplicando por 0.

5. Finalmente la condición será:

Ejemplo

Expresa la ecuación en función de un vector cualquiera que sea perpendicular al vector v.

Para hacer esto definimos un vector p cualquiera y dejamos como incógnitas sus coordenadas dado que nos las conocemos.

Entonces, aplicamos la fórmula del producto escalar:

Finalmente, expresamos el producto escalar en coordenadas:

Resolvemos la ecuación anterior:

Entonces, esta sería la ecuación en función del vector p que sería perpendicular al vector v.

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