Análisis matemático: qué es y qué áreas abarca

¿Qué es el análisis matemático?

El análisis matemático es una rama de las matemáticas. Esta se centra en el estudio de los números reales y los números complejos, así como su representación, incluso valiéndose de letras.

El análisis matemático, en concreto, aborda temas como las derivadas, las integrales, los límites, las series y diversos tipos de funciones complejas.

Su fin es resolver cálculos complejos a través de la abstracción. Para ello, se vale de herramientas como las funciones.

Análisis matemático: Explicación sencilla

Para entender el análisis matemático conviene empezar por su pieza más básica: la ecuación. Una ecuación es un enunciado que dice que dos expresiones son iguales, como 3 + 5 = 8. Cuando oyes la palabra «ecuación», piensa siempre en un signo igual con algo a cada lado que debe coincidir.

La mayoría de las ecuaciones contienen variables, símbolos como x, y o m que representan números conocidos o que queremos averiguar. En 4x + 7 = 19, la x es la incógnita, y el objetivo es encontrar el valor que hace verdadera esa igualdad.

El análisis matemático va un paso más allá de estas operaciones básicas. Estudia cómo cambian las cantidades (con las derivadas), cómo se acumulan (con las integrales) y qué ocurre cuando algo se acerca indefinidamente a un valor (con los límites). Son las herramientas que, por ejemplo, permiten calcular el área bajo una curva o describir el movimiento de un objeto en cada instante.

Historia del análisis matemático

La historia del análisis matemático se remonta a la Grecia clásica. Los matemáticos Eudoxo de Cnido y Arquímedes utilizaron, aunque sin desarrollarlos de manera formal, conceptos como el límite y la convergencia para calcular el área y el volumen de figuras geométricas.

Posteriormente, en el siglo XII, el matemático hindú Bhaskara desarrolló elementos del cálculo diferencial. Ya en el siglo XIV, otro matemático hindú llamado Madhava se dedicó al estudio de diversos tipos de series matemáticas, como las series infinitas, las series de potencias y las series de Taylor.

Con el paso del tiempo, en el siglo XVII ocurrió lo que algunos consideran el verdadero origen del análisis matemático, tras la aparición de desarrollos como los de Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz y Pierre de Fermat en el área del cálculo.

Así, en el siglo XVIII continuaron los avances con otros temas, como las ecuaciones diferenciales. Ya en el siglo XIX destacaron figuras como Augustin Louis Cauchy, Siméon Denis Poisson, Jean-Baptiste Joseph Fourier, Bernhard Riemann, Karl Weierstrass, Richard Dedekind, Camille Jordan y René-Louis Baire.

Con toda esta base, en el siglo XX destacan Henri Léon Lebesgue, David Hilbert y Stefan Banach. Estos dos últimos se dedicaron al estudio de espacios vectoriales.

Áreas del análisis matemático

El análisis matemático abarca las siguientes áreas:

• Análisis real: es el estudio de derivadas e integrales, así como de límites y series. Incluye las ecuaciones diferenciales, la geometría diferencial, la teoría de la probabilidad (rama de las matemáticas que estudia los eventos aleatorios) y el análisis numérico (rama de las matemáticas que estudia los métodos para obtener la solución aproximada a un problema).
• Análisis no real: es el análisis de cuerpos que no son números reales. Por ejemplo, los números complejos, es decir, aquellos que pueden representarse como la suma de un número real y un número imaginario.
• Análisis funcional: es la rama de las matemáticas que estudia el espacio de funciones, un conjunto de funciones de un conjunto A a un conjunto B.
• Topología: es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras o cuerpos geométricos, cuyas propiedades no varían cuando son contraídos, dilatados o deformados.