Ángulo entre dos vectores: Qué es y cómo se calcula

¿Qué es el ángulo entre dos vectores?

El ángulo entre dos vectores se refiere al ángulo que se forma cuando estos vectores se unen en un punto común. Piénsalo como si fueran flechas: si dibujamos dos flechas que parten del mismo punto, el ángulo entre ellas sería como el ángulo entre dos vectores. Se mide en grados o radianes.

Ángulo entre dos vectores: Explicación sencilla

Dicho de otra manera, el ángulo entre dos vectores es la forma en que cuantificamos la «separación» entre ellos en el espacio.

Para calcularlo, utilizamos la fórmula del producto escalar. Esta fórmula nos da una manera de comparar los vectores, donde el resultado nos indica qué tan cerca están de ser paralelos o perpendiculares.

Si el producto escalar es positivo, significa que el ángulo es agudo, lo que implica que los vectres apuntan más en la misma dirección. Si es cero, los vectores son perpendiculares, formando un ángulo recto. Si es negativo, el ángulo es obtuso, indicando que los vectores están más en direcciones opuestas.

Este cálculo es útil para muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, en la física, puede ayudar a determinar la cantidad de trabajo que realiza una fuerza en una dirección específica.

Fórmula

Sean dos vectores de 3 dimensiones:

Ambos formaran un ángulo si hacemos el producto escalar:

Fórmula del producto escalar

El proceso de pasar de dos vectores a tener un ángulo sería el siguiente:

Para obtener el ángulo que se forma del producto escalar de dos vectores se debería aislar el coseno y luego hacer el arcoseno y encontrar alpha (el ángulo).

Entonces, el procedimiento a seguir sería: primero, escribir la fórmula del producto escalar en definición geométrica porque queremos que la multiplicación incorpore el coseno.

Después, aislar el coseno del ángulo a través de pasar dividiendo el producto de los módulos de los vectres al otro lado del igual.

Es importante diferenciar que el producto escalar en coordenadas (numerador) es diferente que el producto de los módulos (denominador).

El producto escalar en coordenadas es:

El producto de los módulos es:

Tipo de ángulos según el signo del producto escalar

El signo del producto escalar determinará el ángulo que se forma y con él también su forma:

• Si el producto escalar es positivo, entonces, el ángulo que se forma es agudo.

• Si el producto escalar es cero, entonces, el ángulo que se forma es recto. Cuando se forma un ángulo recto quiere decir que los vectores son perpendiculares.

• Si el producto escalar es negativo, entonces, el ángulo que se forma es obtuso.