Contraste de White

Generalizando, los residuos cuadráticos de MCO se regresan sobre las variables explicativas. El objetivo principal de White es probar las formas de heterocedasticidad que invalidan los errores estándar típicos de MCO y sus correspondientes estadísticos.

Dicho de otro modo, el contraste de White nos permite comprobar la presencia de heterocedasticidad (el error, u, condicional sobre las variables explicativas varía en la población). Este contraste unifica en una sola ecuación los cuadrados y los productos cruzados de todas las variables independientes de la regresión. Dados los supuestos de Gauss-Markov, nos centramos en el supuesto de homocedasticidad siendo:

Var (u | x₁,…,x_k) = σ²

Un ejemplo de heterocedasticidad sería que en una ecuación sobre el cambio climático, la varianza de los factores no observados que afectan al cambio climático (factores que están dentro del error y E(u | x₁,…,x_k) ≠ σ² ) aumenta con las emisiones de CO₂ (Var (u | x₁,…,x_k) ≠ σ² ). Aplicando el contraste de White estaríamos probando si  Var (u | x₁,…,x_k) ≠ σ² (heterocedasticidad) o Var (u | x₁,…,x_k) = σ²  (homocedasticidad). En este caso, rechazaríamos Var (u | x₁,…,x_k) = σ²  porque la varianza del error aumenta con las emisiones de CO₂  y, por tanto, σ² no es constante para toda la población.

Procedimiento

1. Partimos de una regresión lineal múltiple poblacional con k=2. Definimos (k) como el número de regresores.

Suponemos cumplimiento de Gauss-Markov para que la estimación de MCO sea insesgada y consistente. En particular nos centramos en:

•  E(u | x₁,…,x_k) = 0
• Var (u | x₁,…,x_k) = σ²

2. La hipótesis nula se basa en el cumplimiento de homocedasticidad.

H₀: Var (u | x₁,…,x_k) = σ²

Para contrastar la H₀  (homocedasticidad) se prueba si  u² está relacionada con una o más variables explicativas. De manera equivalente, la H₀ puede expresarse como:

H₀ : E( u² | x₁,…,x_k) = E( u² ) = σ²

3. Hacemos la estimación de MCO sobre el Modelo 1, donde la estimación de û² es el cuadrado del error del Modelo 1. Construimos la ecuación û² :

• Las variables independientes (x_i).
• Los cuadrados de las variables independientes (x_i²).
• Los productos cruzados (x_i x_h ∀ i ≠ h).
• Sustituimos  B₀ y B_k por δ₀ y δ_k respectivamente.
• Sustituimos  por u por v

Resultando en:

û² = δ₀ + δ₁x₁ + δ₂x₂ + δ₃x₁² + δ₄x₂² + δ₅x₁ x₂ + v

Este error (v)  tiene media cero con las variables independientes ( x_i ) .

4. Planteamos las hipótesis a partir de la ecuación anterior:

5. Utilizamos el estadístico F para calcular el nivel de significación conjunta de (x₁,…,x_k).

Recordamos  como (k) el número de regresores en û² .

6. Regla de rechazo:

• Valor-p < F_k,n-k-1  : rechazamos H₀  = rechazamos presencia de homocedasticidad.

• Valor-p > F_k,n-k-1  : no tenemos suficientes evidencias significativas para rechazar H₀  = no rechazamos presencia de homocedasticidad.