Forma cuadrática matricial

En otras palabras, la forma cuadrática matricial es una combinación lineal de una matriz cuadrada, de un vector de orden n y el traspuesto de ese vector. 

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Dada una matriz cuadrada Z de orden n y un vector h de n dimensiones, podemos escribir la expresión llamada forma cuadrática de la forma: 

El resultado de la forma cuadrática será siempre un escalar, es decir, un número solo, no una matriz. 

La forma cuadrática matricial se utiliza para encontrar el grado de positividad y negatividad de las matrices definidas. Dependiendo de los valores del vector h, el valor de la forma cuadrática será cero (0), positivo o negativo. 

Una vez hemos obtenido la forma cuadrática podemos decir que hemos “definido” la matriz. Entonces, podemos hablar de matriz definida. Esta matriz puede ser positiva definida, positiva semi-definida, negativa definida y negativa semi-definida. 

Encontrar la forma cuadrática de la matriz cuadrada Z dado un vector h:

Primero trasponemos el vector h. 

Después aplicamos la fórmula de la forma cuadrática. 

Como hemos dicho anteriormente, el resultado de la forma cuadrática será siempre un solo número. En este caso es un número estrictamente positivo. 

Pero… ¿Cómo puede ser que el resultado sea un número concreto y no una matriz si estamos multiplicando matrices?

La reducción de la dimensión de la matriz a partir de multiplicación se produce porque estamos multiplicando matrices que comparten el mismo número de columnas y filas.

Demostración:

Del producto de la matriz Z y del vector h traspuesto queda un vector de dimensión 3×1. Del mismo modo, el producto del vector resultado y el vector h queda una matriz de dimensión 1×1. Una matriz de dimensión 1×1 es un escalar. 

Entonces, si calculamos la forma cuadrática de una matriz y obtenemos una matriz de dimensión mayor a 1×1 (obtenemos otro resultado distinto a un número concreto) querrá decir que nos hemos equivocado en algún paso y que el resultado es erróneo.