Una matriz no simétrica es una matriz no cuadrada donde los elementos de la matriz traspuesta se encuentran en distinta posición que los elementos de la matriz original.
En otras palabras, la matriz no simétrica es una matriz donde el número de filas (n) es distinto que el número de columnas (m) y la traspuesta de la matriz es distinta a la matriz original.
Es importante no confundir las matrices no simétricas con las matrices antisimétricas dado que son conceptos muy diferentes y que hacen referencia a diferentes elementos dentro de la matriz.
Para que una matriz sea simétrica tiene que ser una matriz cuadrada y que sea igual a su matriz traspuesta. En otras palabras, que el número de filas (n) sea igual al número de columnas (m) y que los elementos de la matriz no cambien una vez cambiadas las filas por las columnas.
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Matemáticamente el concepto de simetría significa que aplicando la operación de trasponer, los elementos de la matriz no cambiarán.
La matriz simétrica y los espejos
Entenderemos mejor el concepto de matriz no simétrica si pensamos en el efecto que produce un espejo.
Si nos miramos al espejo veremos nuestra cara reflejada; si levantamos una mano también se levantará una mano en el espejo. De la misma forma que si hacemos cualquier gesto, saldrá el mismo gesto reflejado.
Pues bien, lo mismo pasa con la diagonal principal de una matriz simétrica. Los elementos por debajo o por encima de la diagonal principal serán los mismos. Es decir, la diagonal principal de una matriz simétrica actúa como espejo de los elementos que hay a su alrededor.
Dada una matriz simétrica S,
La matriz S traspuesta tendría la siguiente forma:
Para mayor información sobre sus propiedades matemáticas consultar el artículo sobre matriz simétrica.
La matriz no simétrica y los espejos
En el caso de la matriz no simétrica es como si el espejo estuviera roto.
Y cuando un espejo está roto no refleja bien los elementos que hay delante de él. Podemos levantar la mano derecha y ver que se levantan cuatro manos o que no se levanta ninguna.
Entonces, aplicando la misma lógica, la matriz no simétrica se trata de no tener los mismos elementos por arriba o por debajo de la diagonal principal y además que no sean iguales.
Tal que:
En esta matriz no podemos encontrar la diagonal principal y, por tanto, no hay simetría en el número de elementos. Además, si trasponemos la matriz anterior veremos que no conserva su estado original.
La matriz NS traspuesta tendría la siguiente forma:
Resumen
Cuando nos encontremos con el concepto de matriz no simétrica solo tenemos que pensar en la matriz simétrica y ponerle una negación delante de sus características. Es decir, una matriz no simétrica será tal que cumpla:
- Matriz no cuadrada.
- Matriz traspuesta no igual a la matriz original.
Puede que parezca sencillo acordarse de qué es una matriz no simétrica, pero cuando trabajamos con matrices antisimétricas a veces confundimos los conceptos.
