Programación lineal

La programación lineal es, entonces, un proceso por el cual se maximizará una función lineal. Es decir, una ecuación de primer grado, donde las variables están elevadas a la potencia 1.

Debemos recordar que este tipo de ecuación es una igualdad matemática que puede tener una o más incógnitas. Así, tiene la siguiente forma básica, donde a y b son las constantes, mientras que x e y son las variables.

ax+b=y

Ahora, mediante la programación lineal, se podría optimizar esta función, hallando el máximo o el mínimo valor de y. Esto, tomando en cuenta que x está sujeta a ciertas restricciones. Quizás es mayor a 0 y menor que 20, por ejemplo.

Los principales elementos de la programación lineal son los siguientes:

• Función objetivo: Es aquella función que se optimiza, ya sea maximizando o minimizando su resultado.
• Restricciones: Son aquellas condiciones que deben cumplirse al optimizar la función objetivo. Puede tratarse de ecuaciones o inecuaciones algebraicas.

Veamos, para terminar, un ejercicio de programación lineal.

Supongamos que tenemos la siguiente función, que expresa el beneficio que obtiene una persona al adquirir determinados productos, siendo la utilidad U y los productos, x e y.

U=4x+7y

Asimismo, el individuo enfrenta una restricción presupuestaria, siendo su presupuesto de 70 unidades monetarias (um), y los precios de los productos x e y son de 6 y 14 um, respectivamente.

70≥6x+14y

En este caso, si graficamos las funciones, nos daremos cuenta de que la mayor utilidad se da cuando la persona compra solo del bien x (11 unidades), con lo que tiene una utilidad de 44(4×11+0x7). En cambio, si compra 9 unidades de x y 1 de y, por ejemplo, la utilidad sería 42 (9×4+1×7). En tanto, si gasta todo en el bien y, solo podría comprar 5, lo que le daría una utilidad de 35(4×0+5×7).

Vale precisar que, en el gráfico superior, la línea gris es una de las curvas de indiferencia.

En este punto, debemos recordar, además, que los bienes x e y pueden tomar solo valores enteros.

El caso presentado puede ser el de dos bienes que satisfacen la misma necesidad, por ejemplo, el hambre. Sin embargo, uno de ellos, el bien x, aunque ofrece un poco menos de utilidad, es menos costoso, pues su precio es de 6 um, mientras que el bien y cuesta más del doble, 14 um.

Para maximizar la función objetivo, se puede recurrir a herramientas online que permiten ingresar la ecuación lineal y las respectivas restricciones, dando automáticamente el resultado.