La esperanza matemática de una variable aleatoria X es el número que expresa el valor medio del fenómeno que representa dicha variable.

La esperanza matemática, también llamada valor esperado, es igual al sumatorio de las probabilidades de que exista un suceso aleatorio, multiplicado por el valor del suceso aleatorio. O, dicho de otra forma, el valor medio de un conjunto de datos. Teniendo en cuenta, eso sí, que el término esperanza matemática está acuñado por la teoría de la probabilidad. Mientras que en matemáticas, se denomina media matemática al valor promedio de un suceso que ha ocurrido. En distribuciones discretas con la misma probabilidad en cada suceso la media aritmética es igual que la esperanza matemática.

Ejemplo de esperanza matemática

Vamos a ver un ejemplo sencillo para entenderlo. Imaginemos una moneda. Dos caras, cara y cruz. ¿Cual sería la esperanza matemática (valor esperado) de que salga cara? La esperanza matemática se calcularía como la probabilidad de que, tirando la moneda un número muy muy grande de veces, salga cara.

Dado que la moneda solo puede caer en una de esas dos posiciones y ambas tienen la misma probabilidad de salir, diremos que la esperanza matemática de que salga cara es una de cada dos, o lo que es lo mismo, el 50% de las veces.

Vamos a hacer una prueba y vamos a tirar una moneda 10 veces. Supongamos que la moneda es perfecta:

  • Tirada 1: C
  • Tirada 2: X
  • Tirada 3: X
  • Tirada 4: C
  • Tirada 5: X
  • Tirada 6: C
  • Tirada 7: C
  • Tirada 8: C
  • Tirada 9: X
  • Tirada 10: X

¿Cuantas veces ha salido cara (contamos las C)? 5 veces ¿Cuantas veces ha salido cruz (contamos las X)? 5 veces. La probabilidad de que salga cara será de 5/10=0,5 o en porcentaje del 50%.

Una vez ha ocurrido ese suceso podemos calcular la media matemática del número de veces que ha ocurrido cada suceso. El lado cara ha salido una de cada dos veces, es decir, un 50% de las veces. La media coincide con la esperanza matemática.

Cálculo de la esperanza matemática

La esperanza matemática se calcula utilizando la probabilidad de cada suceso. La fórmula que formaliza este cálculo se enuncia como sigue:

Dónde x es el valor del suceso, P la probabilidad de que ocurra, i el periodo en el que se da dicho suceso y N el número total de periodos u observaciones.

No siempre la probabilidad de que ocurra un suceso es la misma, como con las monedas. Existen infinidad de casos en que un suceso tiene más probabilidad de salir que otro. Por eso utilizamos en la fórmula la P. Además, al calcular número matemáticos debemos multiplicar por el valor del suceso. Abajo vemos un ejemplo.

¿Para qué se utiliza la esperanza matemática?

La esperanza matemática se utiliza en todas aquellas disciplinas en las que la presencia de sucesos probabilísticos es inherente a las mismas. Disciplinas tales como, la estadística teórica, la física cuántica, la econometría, la biología o los mercados financieros. Una gran cantidad de procesos y sucesos que ocurren en el mundo son inexactos. Un ejemplo claro y fácil de entender, es el de la bolsa de valores.

En la bolsa de valores, todo se calcula en base a valores esperados. ¿Por qué valores esperados? Porque es lo que esperamos que suceda, pero no podemos confirmarlo. Todo se basa en probabilidades, no en certezas. Si el valor esperado o esperanza matemática de la rentabilidad de un activo es de un 10% anual, querrá decir que según la información que tenemos del pasado, lo más probable es que la rentabilidad vuelva a ser de un 10%. Si solo tenemos en cuenta, claro está, la esperanza matemática como método para tomar nuestras decisiones de inversión.

Dentro de las teorías sobre mercados financieros, muchas utilizan este concepto de esperanza matemática. Entre esas teorías se encuentra la que desarrolló Markowitz sobre las carteras eficientes. En números, simplificando mucho, supongamos que las rentabilidades de un activo financiero son las siguientes:

Año 1     12%

Año 2     6%

Año 3     15%

Año 4     12%

El valor esperado sería el sumatorio de las rentabilidades multiplicadas por su probabilidad de suceder. La probabilidad de que “suceda” cada rentabilidad es de 0,25. Tenemos cuatro observaciones, cuatro años. Todos los años tienen la misma probabilidad de repetirse.

Esperanza = ( 12 x 0,25 ) + ( 6 x 0,25 ) + ( 15 x 0,25 ) + ( 12 x 0,25 ) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%

Teniendo en cuenta esta información, diremos que la esperanza de la rentabilidad del activo, es del 11,25%.