Función de producción Cobb Douglas

Para representar las relaciones entre la producción obtenida, utiliza las variaciones de los insumos capital (K) y trabajo (L), a los que más tarde se añadió la tecnología, llamada también productividad total de los factores (PTF). Es una función de producción frecuentemente utilizada en Economía.

El origen de la función Cobb Douglas se encuentra en la observación empírica de la distribución de la renta nacional total de Estados Unidos entre el capital y el trabajo. De acuerdo con lo que mostraban los datos, la distribución se mantenía relativamente constante a lo largo del tiempo. Concretamente, el trabajo se llevaba un 70% y el capital un 30%. De esta forma, la función Cobb Douglas representa una relación, en donde las proporciones de trabajo y capital, con respecto al producto total, son constantes.

Donde:

• Y = Producción
• A= Progreso tecnológico (exógeno), llamado también Productividad total de los factores (PTF)
• K = Stock de capital
• L = Número de empleados
• α y β = parámetros que representan el peso de los factores (K y L) en la renta. Los parámetros varían entre 0 y 1.

La función Cobb Douglas cuenta con ciertas características especiales que facilitan la explicación de teorías como la utilidad y producción. A continuación describimos tres de sus características más relevantes.

• Rendimientos constantes a escala que dependen de la suma de α y β: Los rendimientos a escala miden la variación de la producción ante un cambio proporcional en todos los factores.
  • α + β = 1: Se tendrán retornos constantes a escala.
  • α + β >1: Se tendrán retornos crecientes a escala.
  • α + β < 1: Se tendrán retornos decrecientes a escala.

• Productividad marginal positiva y decreciente: Esta propiedad refleja la ley de rendimientos decrecientes de los factores. Por lo que indica que, a medida que uno de los factores de producción aumenta, mientras que el resto se mantiene constante, su productividad va decayendo.
• Elasticidad de producción constante: La elasticidad de producción mide la variación porcentual de la producción, ante un cambio en los insumos utilizados. En el caso de la función Cobb Douglas, es constante e igual a α para el capital y β para el trabajo. Así, por ejemplo, si β es igual a 0.2, y el trabajo aumenta en un 10%, la producción aumentará un 2%.

Para estimar el crecimiento económico futuro es más útil reformular la función Cobb Douglas, para ello, aplicando logaritmos naturales.

En este sentido, asumiendo que α + β = 1 (retornos constantes a escala), y unas pequeñas asunciones más, podemos establecer la tasa de crecimiento económico en función de los cambios de los factores de producción:

%ΔY ≅ (%ΔA) + α(%ΔK) + (1-α)(%ΔL)

Donde:

• %ΔY = Tasa de variación del PIB esperada
• %ΔTFP = Crecimiento Productividad total de los factores (PTF)
• %ΔK = Crecimiento Stock de capital
• %ΔL = Crecimiento del número de empleados
• α = Elasticidad del capital sobre la producción

Esta fórmula es muy utilizada en bolsa para estimar el crecimiento económico. Estudios empíricos sugieren que sería razonable asumir que el crecimiento del empleo (L) tiene un efecto lineal en el crecimiento del empleo.

Vamos a calcular el crecimiento económico suponiendo que el PTF, el capital (K) y el empleo (L), crecen un 1,5%, 0,2% y 1,7% respectivamente, si la elasticidad del capital (α) es igual a 0,35:

%ΔY = 1,5% + 0,35(0,2%) + (1-0,35)(1,7) = 2,675%

El capital humano es considerado un factor de producción muy importante. Tanto es así que, en los estudios de Uzawa (1965) y Lucas (1988), se introdujo como variable principal de la función de producción Cobb-Douglas. De esta forma, sustituyendo el factor trabajo (L), por el factor capital humano (H), y manteniendo la tecnología (A) y el capital financiero (k):