Teorema de Darmois

El teorema de Darmois es un teorema que permite encontrar un estadístico T para un parámetro θ con la propiedad de suficiente.

En palabras aún más sencillas, permite encontrar la expresión matemática, en caso de existir, de un estadístico suficiente.

En relación al criterio de factorización de Fisher-Neyman podemos hacer una consideración. El criterio de factorización de Fisher-Neyman sirve tanto para comprobar si un estadístico cumple la propiedad de suficiente, como para encontrar la expresión matemática de un estadístico suficiente (si existe). Por contra, el teorema de Darmois solo permite encontrar la expresión matemática (en caso de que exista) de un estadístico suficiente.

Digamos que mientras criterio de factorización de Fisher-Neyman se mueve hacia adelante (busca) y hacia atrás (verifica), el teorema de Darmois solo se mueve hacia adelante (busca).

Fórmula del teorema de Darmois

Teóricamente se expresa, dada una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X con función de densidad f(x;θ) con θ ∈ Ω. Si esta función pertenece a la familia exponencial, es decir, se puede expresar tal que:

f(x;θ) = β(θ) × b(x) × e ^[a(x) × α(θ)

Entonces el estadístico T = T(x1, … , xn) = Σ a(x)

Para facilitar los cálculos se suele realizar notación con logaritmos:

lnf(x;θ) = lnβ(θ) + lnb(x) +  [a(x) × α(θ)]

Claro que, es difícil entender toda esta notación matemática. Aparecen muchas incógnitas, muchas letras, muchos operadores. Vamos a redefinirla con palabras de coloquiales. A este efecto, empezaremos por la definición teórica aplicada a un ejemplo:

Supongamos una muestra aleatoria de 50 niños (muestra aleatoria simple) a los que preguntamos cuánto dinero gastan a la semana en caramelos (variable aleatoria X) con una función de densidad determinada (ver función de densidad). Entonces, si esta función de densidad la podemos expresar de la siguiente manera:

Estableceremos que el estadístico suficiente es el sumatorio de la expresión a(x)

Las partes de la fórmula se definen como sigue:

• lnβ(θ): Es una función que depende solo del parámetro (en nuestro caso de la media)
• lnb(x): Es una función que depende solo de la variable aleatoria X
• a(x): Es una función que depende solo de X y multiplica a α(θ)
• α(θ): Es una función que depende solo del parámetro (en nuestro caso de la media)

El teorema de Darmois en la práctica

Aunque todos tenemos la capacidad y las herramientas para descubrir nuevos estadísticos, no suele ser lo habitual. Es decir, los catedráticos en economía y los expertos en la materia investigan sobre estos temas.

A título personal, es difícil encontrar a alguien que se dedique a realizar este tipo de investigaciones. Así pues, en la práctica lo importante de este teorema es entender de dónde nacen esos estadísticos que utilizamos.

Por ejemplo, para que alguien descubriese que la media es un estadístico suficiente, probablemente utilizó este proceso.