La teoría del arbitraje es una teoría que estima la rentabilidad esperada o tasa de retorno de un activo como una función lineal de diversos factores macroeconómicos.
De forma sencilla, es una ecuación lineal que depende de unos factores (F) y de unos parámetros o coeficientes beta a los que se suma una constante, que es el llamado activo libre de riesgo (rf). De esta manera, su objetivo es calcular la rentabilidad esperada de un activo. Los factores (F) son magnitudes macroeconómicas como el Producto Interior Bruto (PIB) y los parámetros beta indican la sensibilidad de la rentabilidad ante cambios en estas magnitudes y, además, la dirección de dichos cambios.
La expresión matemática de la teoría del arbitraje es la siguiente:
rf indica el retorno esperado de un activo libre de riesgo.
Beta es el coeficiente o parámetro de cada factor.
F es el factor macro económico que influye en la rentabilidad esperada.
Epsilon es el error aleatorio del modelo lineal.
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Para interpretar la fórmula debemos fijarnos en el valor de beta y su signo. Si el valor es mayor que uno, el factor afecta más que proporcionalmente a la rentabilidad y menos que proporcionalmente, si es menor que uno. Si el signo es positivo la relación será directa, mientras que si el signo es negativo la relación será inversa.
También se conoce como APT por sus siglas en inglés (arbitrage pricing theory).
Como se calcula la rentabilidad esperada y el precio en la teoría del arbitraje
Como primer paso, volvamos a su expresión matemática:
Para calcular la rentabilidad esperada, debemos construir el modelo lineal y llevar a cabo una regresión múltiple que arroje los valores de los coeficientes beta. Para hacerlo se utilizan valores de los factores en un período de tiempo lo más amplio posible. Algunos factores macro económicos que influyen en el modelo son la inflación, el PIB o la confianza inversora (Chen, 1980; Ross, 1976; Stephen, 19676).
Una vez calculada la rentabilidad esperada debemos hacer lo mismo con el precio del activo financiero. Para conocerlo, actualizamos el precio esperado utilizando el interés compuesto y tomando como tasa de descuento esa tasa de descuento que hemos calculado antes. Una vez conocido el precio actual, siempre que los factores utilizados expliquen de forma adecuada el comportamiento de ese activo, podemos estimar su valor intrínseco.
El precio de mercado debería ser igual o muy parecido al valor intrínseco determinado mediante al modelo APT. Si el modelo arroja un valor superior al precio de mercado, quiere decir que el activo podría estar infravalorado y a la inversa. Pero como todo modelo económico, debe utilizarse con prudencia, ya que no son exactos.
El APT, una ampliación de la CAMP
Esta teoría del arbitraje y su modelo factorial, que se desarrolló gracias a Stephen A. Ross (1976), es una ampliación del Capital Asset Pircing Model (CAPM). De esta forma, el CAMP sería un caso especial de APT con un solo factor y, debido a la complejidad de los mercados, su capacidad predictiva es más limitada.
La teoría del arbitraje plantea una regresión múltiple (no sencilla) entre la rentabilidad esperada de un activo, basada a su vez en el precio de este, y su riesgo. Hay que tener en cuenta que este modelo factorial se interesa solo por el riesgo sistemático, ya que el resto se pueden minimizarse e incluso eliminarse vía diversificación de carteras.
Una de sus mayores ventajas es que puede aplicarse de forma relativamente sencilla, ya que utiliza variables que son conocidas. El activo sin riego puede ser un bono del estado y los datos macro económicos los ofrecen los institutos de estadística de los diferentes países, como el instituto nacional de estadística español (INE).
Ejemplo de APT
El cálculo de los diferentes valores de puede hacerse utilizando programas de estadística como SPSS. Imaginemos, para hacer el ejemplo más sencillo, que ya los tenemos. Los factores que utilizaremos serán: el crecimiento del PIB (PIBpm), la inflación esperada (pi) y el tipo de interés (r). Además, consideramos que el interés del es del 3%. Podemos expresar la ecuación de la APT con los valores que conocemos:
E(ri)=0,03 (1)+1PIB-1,5pi+0,8r
(1) Los valores en tanto por ciento se expresan en tanto por uno para poder operar. Multiplicando el resultado por 100 se transforma de nuevo en porcentaje.
En el ejemplo vemos como la rentabilidad varía de forma directa con el crecimiento del PIB (signo positivo) y lo hace en la misma proporción (1). Varía de forma inversa con la inflación (signo negativo) y más que proporcionalmente (1,5) y de forma directa con el tipo de interés y menos que proporcionalmente (0,8).
Tomemos unos datos ficticios, aunque estos pueden obtenerse del INE: Crecimiento del PIB del 2%, inflación el 1,5% y tipo de interés del 2,5%. Sustituyendo en la fórmula:
E(ri)=0,03+1*0,02-1,5*1,5+0,8*0,025=0,0475 en porcentaje 4,75%
Es decir, que la E(ri) sería del 4,75%. Una vez calculada podemos averiguar el precio actual de un activo, utilizando esta como tasa de descuento para su cálculo. Al compararlo con su precio esperado, podemos estimar si está o no sobrevalorado. Imaginemos que el precio esperado es de 500 € y el precio de mercado es de 475 €. Por otro lado, el período de vencimiento es de cinco años.
Los cálculos, utilizando el interés compuesto, arrojan un resultado de 363,46€ , como el precio de mercado es de 475 € se sitúa por encima del valor intrínseco calculado por la APT (363,46 €). El activo, según esta teoría, estaría sobre valorado, por tanto, la tendencia más probable (que no cierta) es que su precio baje en el futuro.
E(ri)=0,03+1*0,02-1,5*1,5+0,8*0,025=0,0475 en porcentaje 4,75%
por que le resta el -1.5*1.5
si debe ser una suma de acuerdo a la fórmula
Hola Jessica.
Antes de nada, gracias por preguntar y por tu observación. Verás, en la fórmula genérica se suelen utilizar signos positivos. La razón es que son los propios parámetros los que toman valores positivos, si la relacción es directa, o negativos, si es inversa. Por ejemplo, si queremos escribir la ecuación que relacione el crecimiento del PIB con el desempleo (TP) (es evidente la relación inversa entre ambos) sería PIB=a+bTP. En este caso, "a" es la constante de la ecuación y sabemos que el parámetro "b" va a ser negativo, por tanto, PIB=a+(-b)TP y eliminando el paréntesis PIB=a-bTP. Como ves, el resultado final es que aparece la segunda parte con signo negativo, aunque en la ecuación original era positivo.
Esperamos haber aclarado tu duda y bienvenida a Economipedia.