La desviación típica es la desviación media de una variable respecto a su media o esperanza matemática. La desviación típica es siempre mayor o igual que cero.

Para entender este concepto necesitamos analizar 2 conceptos fundamentales.

  • Esperanza matemática, valor esperado o simplemente media: Es la media de nuestra serie de datos.
  • Desviación: La desviación es la separación que existe entre un valor cualquiera de la serie y la media.

Ahora, entendiendo estos dos conceptos la desviación típica se calculará de forma similar a la media. Pero tomando como valores las desviaciones. Y aunque este razonamiento es intuitivo y lógico tiene un fallo que vamos a comprobar con el siguiente gráfico.

 

En la imagen anterior tenemos 6 observaciones, es decir, N = 6. La media de las observaciones está representa por la línea negra situada en el centro del gráfico. Entenderemos por desviación, la diferencia que existe entre cualquiera de las observaciones y la línea negra. Así pues, tenemos 6 desviaciones.

  1. Desviación -> (2-3) = -1
  2. Desviación -> (4-3) = 1
  3. Desviación -> (2-3) = -1
  4. Desviación -> (4-3) = 1
  5. Desviación -> (2-3) = -1
  6. Desviación -> (4-3) = 1

Como podemos ver si sumamos las dos desviaciones 6 desviaciones y dividimos entre N (6 observaciones), el resultado es cero. La lógica sería que la desviación media fuese de 1. Pero una característica matemática de la media respecto a los valores que la forman es, precisamente, que la suma de las desviaciones es cero.  ¿Cómo arreglamos esto? Tenemos dos alternativas para calcular la desviación media:

Fórmulas para calcular la desviación típica

La primera es elevando al cuadrado las desviaciones, dividir entre el número total de observaciones y por último hacer la raíz cuadrada para deshacer el elevado al cuadrado, tal que:

La segunda, más intuitiva, consiste en calcular la suma de las desviaciones en valor absoluto y por último dividir entre el total de observaciones n, tal que:

Ejemplo de cálculo de la desviación típica

Vamos a comprobar como, con cualquiera de las dos fórmulas expuestas, el resultado de la desviación típica o desviación media es el mismo.

Según la fórmula de la varianza (raíz cuadrada):

Según la fórmula del valor absoluto:

Tal como dictaba el cálculo intuitivo. La desviación media es de 1. Este ejemplo es sencillo y gracias a él se puede comprender fácilmente el significado de la desviación. En otros casos tendremos mayor cantidad de observaciones y números con valores aleatorios sin relación entre sí. No obstante, la fórmula que se aplica es la misma.

La relación de la desviación típica con la varianza

En definitiva la varianza no es más que la desviación típica al cuadrado. O lo que viene a ser lo mismo, la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Se relacionan de la siguiente forma:

Tras esta imagen, queda claro que toda la fórmula que está dentro de la raíz cuadrada es la varianza. La razón por la que es necesario entender que esa parte se conoce como varianza es que se utiliza en otras fórmulas para calcular otras medidas. Así pues aunque la desviación típica sea más intuitiva para interpretar resultados, es imperativo cómo se calcula la varianza.