La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que modeliza la frecuencia de eventos determinados durante un intervalo de tiempo fijado a partir de frecuencia media de aparición de dichos eventos.
En otras palabras, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que, solo sabiendo los eventos y su frecuencia media de ocurrencia, podemos conocer su probabilidad.
Expresión
Dada una variable aleatoria discreta X decimos que su frecuencia se puede aproximar satisfactoriamente a una distribución de Poisson, tal que
La distribución de Poisson solo depende de un parámetro, mu (marcado en amarillo). Mu informa del número esperado de eventos que ocurrirán en un intervalo de tiempo fijado.
Función de densidad de probabilidad (fdp)
Esta función se entiende como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor concreto x. Es la exponencial de la media negativa multiplicada por la media elevada a la observación y todo dividido por el factorial de la observación.
Como está indicado, para conocer la probabilidad de cada observación, tendremos que sustituir en la función todas las observaciones.
Cálculo con Excel
Aunque parezca muy complicada la fórmula anterior, Excel nos resuelve la vida con tan solo escribir =POISSON e introducir los inputs necesarios. De este modo podremos calcular la función de densidad de probabilidad.
La función depende de x, mu y de un valor lógico. Para calcular la función de densidad de probabilidad vamos a poner FALSO en el valor lógico, tal que así:
=POISSON (x, mu, FALSO).
=POISSON.DIST (x, mu, FALSO).
Ambas funciones de Excel son equivalentes.
Ejemplo de Poisson en Excel
Suponemos que queremos ir a esquiar antes de diciembre. La probabilidad de que abran las estaciones de esquí antes de diciembre es del 5%. Queremos saber la probabilidad de que las estaciones de esquí más cercanas abran antes de diciembre. De las 100 estaciones que hay, solo hay 3 estaciones que sean cercanas. Las valoraciones para estas 3 estaciones son de 4, 9 y 6, respectivamente.
Los inputs necesarios para calcular la función de probabilidad de densidad de la Poisson son el conjunto de datos y mu:
- Conjunto de datos = 100 estaciones de esquí.
- Mu = 5% * 100 = 5 es el número de estaciones de esquí esperado dado el conjunto de datos.
Manualmente
Excel
- Conjunto de datos o muestra. Se ha ocultado una parte del conjunto de datos para verlo completo.
- Calcular la función de densidad de probabilidad de Poisson:
Las celdas marcadas en azul indican la probabilidad de que las estaciones cercanas abran antes de diciembre. Entonces, la estación cercana que tiene más probabilidad de abrir antes de diciembre es la estación número 98 con una valoración de 4 y una probabilidad de 17,54%.
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