Distribución de Poisson: ¿Qué es y para qué sirve?
- La distribución de Poisson solo depende de un parámetro, mu, que es la media de la frecuencia de los eventos.
- Predice eventos aleatorios en diversos campos como finanzas, seguros, telecomunicaciones y más.
- Es ideal para situaciones donde los eventos son independientes y ocurren de manera esporádica.
¿Qué es la Distribución de Poisson?
La Distribución de Poisson es una herramienta matemática que nos permite calcular la probabilidad de que ocurra un número específico de eventos en un periodo de tiempo o lugar determinado, sabiendo con qué frecuencia suelen ocurrir esos eventos normalmente.
Si conocemos la media de ocurrencia de un evento (por ejemplo, cuántos coches pasan por una calle cada hora), la Distribución de Poisson nos ayuda a calcular la probabilidad de que pasen 2, 5 o 10 coches en esa misma hora.
Distribución de Poisson: Explicación sencilla
Dicho de otra manera, la Distribución de Poisson nos permite estimar la probabilidad de que ocurran un número determinado de eventos, basándose en la frecuencia promedio con la que ocurren normalmente.
Imagina que tienes un restaurante y sabes que en promedio entran 5 clientes por hora. Con la Distribución de Poisson, podrías calcular la probabilidad de que en la próxima hora entren 3 clientes, 7 clientes o incluso ninguno.
Esta información te ayuda a prepararte y a tomar mejores decisiones, como por ejemplo, cuántos empleados necesitas tener trabajando en cada turno.
Expresión de la distribución de Poisson
Dada una variable aleatoria discreta X decimos que su frecuencia se puede aproximar satisfactoriamente a una distribución de Poisson, tal que:
A diferencia de la distribución normal, la distribución de Poisson solo depende de un parámetro, mu (marcado en amarillo).
Mu informa del número esperado de eventos que ocurrirán en un intervalo de tiempo fijado. Cuando se habla de algo “esperado” tenemos que redirigirlo a pensar en la media. Por tanto, mu es la media de la frecuencia de los eventos.
Tanto la media como la varianza de esta distribución son mu, estrictamente positiva.
Representación
Dada una distribución de Poisson con media 2, la distribución de probabilidad de densidad es la siguiente:
La función solo está definida en valores enteros de x.
No todas las distribuciones de probabilidad de densidad de Poisson tendrán el mismo aspecto aunque mantengamos igual la muestra. Si cambiamos la media, es decir, el parámetro del que depende la función, también cambiará la función.
Función de densidad de probabilidad (fdp)
Esta función se entiende como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor concreto x. Es la exponencial de la media negativa multiplicada por la media elevada a la observación y todo dividido por el factorial de la observación.
Como está indicado, para conocer la probabilidad de cada observación, tendremos que sustituir en la función todas las observaciones. En otras palabras, x es un vector de dimensión n que contiene todas las observaciones de la variable aleatoria X. La media también sería un vector pero de una dimensión, tal que:
Una vez ya tenemos las probabilidades calculadas, junto con las observaciones ya podemos dibujar la distribución de densidad de probabilidad.
Historia
El nombre de esta distribución proviene de su creador, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), un matemático y filósofo francés, que quería modelar la frecuencia de eventos durante un intervalo de tiempo fijado. También participó en perfeccionar la ley de los grandes números.
Aplicación
La distribución de Poisson se utiliza en el campo de riesgo operacional con el objetivo de modelar las situaciones en que se produce una pérdida operacional. En riesgo de mercado se emplea el proceso de Poisson para los tiempos de espera entre transacciones financieras en bases de datos de alta frecuencia. También, en riesgo de crédito se tiene en cuenta para modelar el número de quiebras.
Ejemplo
Suponemos que estamos en temporada de invierno y queremos ir a esquiar antes de diciembre. La probabilidad que abran las estaciones de esquí antes de diciembre es del 5%. De las 100 estaciones de esquí, queremos saber la probabilidad de que la estación de esquí más cercana abra antes de diciembre. La valoración de esta estación de esquí es de 6 puntos.
Los inputs necesarios para calcular la función de probabilidad de densidad de la Poisson son el conjunto de datos y mu:
- Conjunto de datos = 100 estaciones de esquí.
- Mu = 5% * 100 = 5 es el número de estaciones de esquí esperado dado el conjunto de datos.
Entonces, la estación más cercana tiene una probabilidad de 14,62% de que abra antes de diciembre.
En Economipedia, queremos resolver todas tus dudas. Por eso, hemos recopilado las preguntas más frecuentes sobre este tema. Si no encuentras la respuesta que buscas, no dudes en dejarnos un comentario.
¿Qué es la Distribución de Poisson?: Es una distribución de probabilidad discreta que se utiliza para predecir la frecuencia de eventos en un intervalo de tiempo determinado basándose en su frecuencia media.
¿Cuándo se utiliza la Distribución de Poisson?: Se utiliza cuando se necesita modelar eventos raros o esporádicos en un período de tiempo, como las llamadas a un call center o las transacciones en un banco.
¿Cuál es el parámetro clave en la Distribución de Poisson?: El parámetro clave es 𝜇 μ (mu), que representa la media o el número esperado de eventos.
