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Curtosis

Francisco Javier Marco Sanjuán
3 min
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La curtosis es una medida estadística que determina el grado de concentración que presentan los valores de una variable alrededor de la zona central de la distribución de frecuencias. También es conocida como medida de apuntamiento.

Cuando medimos una variable aleatoria, por lo general, los resultados que tienen una mayor frecuencia son los que se sitúan en torno a la media de la distribución. Imaginemos la altura de los alumnos de una clase. Si la altura media de la clase es 1,72 cm, lo más normal es que las alturas del resto de los alumnos estén en torno a este valor (con cierto grado de variabilidad, pero sin ser esta demasiado grande). Si esto sucede, se considera que la distribución de la variable aleatoria se distribuye con normalidad. Pero dada la infinidad de variables que se pueden medir, esto no siempre sucede así.

Existen algunas variables que presentan un mayor grado de concentración (menor dispersión) de los valores en torno a su media y otras, por el contrario, presentan un menor grado de concentración (mayor dispersión) de sus valores en torno a su valor central. Por tanto, la curtosis nos informa de lo apuntada (mayor concentración) o lo achatada (menor concentración) que es una distribución.

Medidas de tendencia central
Frecuencia acumulada

Tipos de curtosis

Dependiendo del grado de curtosis, tenemos tres tipos de distribuciones:

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1. Leptocúrtica: Existe una gran concentración de los valores en torno a su media (g2>3)

2. Mesocúrtica: Existe una concentración normal de los valores en torno a su media (g2=3).

3. Platicúrtica: Existe una baja concentración de los valores en torno a su media (g2<3).

Medidas de curtosis según los datos

Dependiendo de la agrupación o no de los datos, se utiliza una fórmula u otra.

Datos sin agrupar:

Datos agrupados en tablas de frecuencias:

Datos agrupados en intervalos:

Ejemplo de cálculo de curtosis para datos sin agrupar

Supongamos que queremos calcular la curtosis de la siguiente distribución:

8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.

Primero calculamos la media aritmética (µ), que sería 7,69.

A continuación, calculamos la desviación típica, que sería 2,43.

Tras tener estos datos y para comodidad en el cálculo, se puede realizar una tabla para calcular la parte del numerador (cuarto momento de la distribución). Para el primer cálculo sería: (Xi-µ)^4 = (8-7,69)^4 = 0,009.

Datos(Xi-µ)^4
80,0090
552,5411
92,9243
1028,3604
12344,3330
70,2297
21049,9134
68,2020
80,0090
92,9243
1028,3604
70,2297
70,2297
N = 13∑ = 1.518,27

Una vez tenemos esta tabla hecha, simplemente tendríamos que aplicar la fórmula expuesta con anterioridad para tener la curtosis.

g2 = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34

En este caso dado que g2 es mayor que 3, la distribución sería leptocúrtica, presentando un mayor apuntamiento que la distribución normal.

Exceso de curtosis

En algunos manuales la curtosis se presenta como exceso de curtosis. En este caso esta se compara directamente con la de la distribución normal. Dado que la distribución normal tiene curtosis 3, para obtener el exceso, solo habría restarle 3 a nuestro resultado.

Exceso de curtosis = g2-3 = 3,34-3 = 0,34.

La interpretación del resultado en este caso, sería la siguiente:

g2-3 > 0 -> distribución leptocúrtica.

g2-3 = 0 -> distribución mesocúrtica (o normal).

g2-3 < 0 -> distribución platicúrtica.

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Francisco Javier Marco Sanjuán, 02 de octubre, 2017
Curtosis. Economipedia.com

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    Comentarios

    1. EVELYN MAYTHE ZAPATA SIMBALA

      30 de noviembre de 2018 a las 21:56

      Gracias me ayudaron con mi tarea

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        1 de diciembre de 2018 a las 14:00

        ¡ Gracias a ti por leernos y comentar Evelyn !

        Accede para responder
    2. rodrigo

      6 de diciembre de 2018 a las 16:30

      (Xi-µ)^4 como realizas esto amigo?

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        4 de enero de 2019 a las 15:39

        Hola Rodrigo, como la media aritmetica es 7,69(µ), y Xi es el dato en cuestión, lo que hacemos para el primer dato que es 8:

        (Xi-µ)^4 = (8-7,69)^4 = 0,009.

        Para el segundo dato que Xi es 5:

        (Xi-µ)^4 = (5-7,69)^4 = 52,5411

        Esperamos que la duda quede resuelta. Saludos y gracias por el comentario.

        PD: Hemos añadido gracias al comentario un ejemplo de cálculo de la tabla en este artículo.

        Accede para responder
        • aymeeth

          20 de enero de 2020 a las 18:57

          jose francisco porfavor explicame que significa esto µ y ^ y disculpa la ignorancia

          Accede para responder
          • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

            24 de enero de 2020 a las 13:15

            Hola Aymeeth

            µ es la media poblacional
            ^ es un símbolo que significa elevado a.

            Saludos, espero haberte ayudado.

            Accede para responder
    3. Rodrigo Ruiz Andia

      10 de enero de 2019 a las 05:41

      Haciendo en excel no sale el mismo resultado, como hacemos eso?

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        11 de enero de 2019 a las 19:02

        Hola Rodrigo,

        En realidad la curtosis, simplificando las incógnitas se calcula como –> Curtosis = m^4/s^4. Es decir, el cuatro momento de la distribución entre la desviación típica elevada a 4. Dado que excel utiliza en su cálculo la cuasi-desviación típica (en excel es DESVEST.M o DESVEST dependiendo de la versión) al hacer todo el desarrollo, el resultado final es diferente. La fórmula que utiliza excel queda como:

        [[(n*(n+1))/((n-1)*(n-2)*(n-3))]*[Sumatorio((x-media)/varianza))^4]]-[(3*((n-1)^2))/((n-2)*(n-3))]

        En el soporte de excel, puedes encontrar más información respecto a esta fórmula. Espero que te sirva de utilidad.

        Saludos

        PD: En cualquier caso, los manuales de estadística descriptiva muestran la fórmula tal como hemos indicado nosotros.

        Accede para responder
    4. Ernesto Botello

      22 de junio de 2019 a las 01:38

      Hola, muchas gracias, me ayudo a despejar dudas.

      Accede para responder
    5. juan simon

      10 de octubre de 2019 a las 00:11

      Interesante, lo he visto claro. Veo de utilidad esta wikiweb.

      Accede para responder
    6. Peter

      8 de abril de 2020 a las 04:40

      Hola qué tal ? Quisiera saber cómo calculas las desviación tipica.

      saludirijillos.

      Accede para responder
      • Logo Economipedia 2018 1Economipedia

        30 de abril de 2020 a las 14:02

        Hola Peter,

        Este artículo podría ayudarte –> https://economipedia.com/definiciones/desviacion-tipica.html

        Saludos de parte del equipo de Economipedia.

        Accede para responder
    7. Jorge Fernando Yáñez

      16 de mayo de 2020 a las 01:06

      Está muy bien expuesto el tema. Está muy bien desarrollado y resulta de fácil comprensión. Gracias, me fue de mucha utilidad.

      Accede para responder
    8. andrea yauri haqquehua

      2 de julio de 2020 a las 14:17

      me puede ayudar con eso por favor

      Accede para responder
    9. Luis

      31 de enero de 2021 a las 17:43

      Buenas tardes,

      Mi duda es saber por qué la fórmula me da un valor diferente al realizar la operación en EXCEL.

      Un saludo.

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        2 de febrero de 2021 a las 10:49

        Hola Luis,

        A veces Excel utiliza fórmulas con ligeras variaciones. Suele estar relacionado con realizar el cálculo sobre la muestra o sobre la población.

        Un saludo y gracias por comentar.

        Accede para responder
    10. Alejandro

      15 de abril de 2021 a las 23:53

      No me dan los msmos resultados…., me da 4.779,87 y no 3,34

      Accede para responder
      • Jose Antonio LudenaJosé Antonio Ludeña

        6 de abril de 2022 a las 14:15

        Hola Alejandro,

        He revisado el cálculo y veo que está correcto en el artículo.

        Un saludo de parte de todo el equipo de Economipedia 🙂

        Accede para responder

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