Geometría fractal

La geometría fractal es aquella rama de la geometría que estudia los fractales. Estos son objetos complejos, con una estructura que se ve repetida cuando lo observamos en diferentes escalas.

Los fractales, en otras palabras, están formados por partes que son similares al todo y son estructuras irregulares. Pensemos en un cogollo de brócoli, que cuando lo partimos queda dividido en varios brócolis más pequeños.

La geometría fractal nació de la necesidad de tener una mejor aproximación a la realidad, pues la geometría plana y la geometría del espacio estudian figuras y cuerpos que, muy difícilmente, encontramos en la naturaleza.

Pensemos en que las montañas no son conos y que incluso las pirámides de Egipto, si las miramos de cerca, tendrán en su superficie ciertas irregularidades. A estas imperfecciones se les denomina con la cualidad de rugosidad, y es una característica que añade la geometría fractal a los objetos, que ya no solo poseerán perímetro, área y volumen.

Origen de la geometría fractal

El origen de la geometría fractal tiene como pionero al matemático Benoit Mandelbrot, así como su mayor obra literaria: «Geometría Fractal de la Naturaleza”, publicado en 1982.

La palabra fractal proviene del latín «fractus», que significa quebrado o fracturado, y fue acuñada por Mandelbrot en 1975.

Cabe mencionar que, pese a que Mandelbrot formalizó el estudio de la economía fractal, él no fue el primero en notar la existencia de fractales en la naturaleza. Por ejemplo, si observamos la obra del conocido pintor japonés Katsushika Hokusai, veremos aplicado ese concepto (y el mismo Mandelbrot lo mencionó en una entrevista). Por ejemplo, en la pintura «La gran ola», observamos cómo dentro de la ola hay otras olas más pequeñas.

Características de un fractal

Las principales características de un fractal son las siguientes:

• Autosimilaridad: Se refiere a lo que ya habíamos mencionado antes. Si observamos una parte del fractal a mayor escala (más de cerca) va a parecer igual que el objeto completo. Es decir, la parte es similar al todo, aunque esto no siempre se cumple de forma exacta. Por ejemplo, imaginemos un rombo constituido por muchos rombos pequeños. Aunque el tamaño de estos rombos varíe un poco, se trataría de un fractal.
• Dimensión fractal no es igual a la dimensión topológica: Para explicar la dimensión topológica imaginemos que tenemos un plano dividido en cuadrículas, como una malla. Entonces, trazo una línea que atraviesa por 2 cuadrículas. Si yo dividiera todas las cuadrículas de la malla en dos, la línea pasaría por 4 cuadrículas. Es decir, se multiplica por 2, que es igual al factor de reducción (2) elevado a la 1 (2=2¹), que, valga la redundancia, es el número de dimensiones de la línea. Ahora, si tenemos un polígono, una figura bidimensional, ocurre algo similar. Por ejemplo, si tenemos un cuadrado que abarca cuatro cuadrículas y aplicamos de nuevo un factor de reducción 2, el cuadrado abarcará 16 cuadrículas. Es decir, el número de cuadrículas (4) se multiplica por 4, que es 2 elevado a 2 (2=2²), siendo el exponente el número de dimensiones al cuadrado. Sin embargo, todo lo anterior no se cumple en los fractales.
• No son diferenciables en ningún punto: Esto significa, en términos matemáticos, que no se puede calcular la derivada de la función representada. En términos visuales, significa que el gráfico no es continuo, sino que presenta picos, por lo cual no es posible hacer la derivación.

Aplicación de la geometría fractal

La geometría fractal puede ser aplicada en diversos ámbitos. Por ejemplo, en 1940, Lewis Fry Richardson había observado que varias fronteras entre país y país, cambiaban en función de la escala de medida. Es decir, si medimos un contorno geográfico, el resultado diferirá dependiendo de la longitud de la regla que se utilice. Esto sirvió de referencia para Mandelbrot en su artículo de 1967, publicado en la revista Science: «¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?»

Se puede explicar, si tomamos en cuenta que los territorios geográficos son fractales y, conforme los vemos a mayor escala, vemos más irregularidades.

Otra aplicación de la geometría fractal es el análisis de movimientos sísmicos y en los movimientos en la bolsa de valores.

Además, debemos reconocer que los fractales han servido de inspiración a artistas como el ya mencionado Hokusa, y también tenemos el caso de Jackson Pollock.