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Matriz varianza-covarianza

Redactado por: Paula Rodó
Revisado por: José Francisco López
Actualizado el 1 junio 2020
2 min
  • Representación de la matriz
  • Requisitos para que sea una matriz varianza-covarianza
  • Aplicación 
  • Expresión matemática de la varianza y la covarianza

La matriz varianza–covarianza es una matriz cuadrada de dimensión nxm que recoge las varianzas en la diagonal principal y las covarianzas en los elementos de fuera de la diagonal principal.

En otras palabras, la matriz varianza-covarianza es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas y que tiene distribuidas las varianzas en la diagonal principal y las covarianzas en los elementos fuera de la diagonal principal.

Covarianza

Representación de la matriz

La matriz varianza-covarianza acostumbra a expresarse como 

Sigma 1
Sigma

Aunque parezca que sea el símbolo del sumatorio y que no tenga ninguna relación con la matriz varianza-covarianza, esta letra griega representa perfectamente el contenido de esta matriz.

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Para entenderlo, primero vamos a fijarnos en su expresión: 

Matriz Varianza Covarianza Nxm
Matriz varianza-covarianza nxm

Sabiendo que hay m columnas, los puntos suspensivos indican que se ha obviado representar las columnas entre la segunda y la última columna. Del mismo modo, sabiendo que hay n filas, los puntos suspensivos indican que se ha obviado representar las filas entre la segunda y la última fila. 

En este caso, empleamos la sigma para representar las covarianzas y la sigma al cuadrado para las varianzas. A modo de ejemplo: 

Dos Elementos De La Matriz Varianza Covarianza
Dos elementos de la matriz varianza-covarianza

¿Qué letra griega aparece en todos los elementos de la matriz? La sigma.

Entonces, es lógico que, para definir la matriz varianza-covarianza, también se utilice una sigma.

La letra griega 

Sigma 2
Sigma

es la forma mayúscula de

Sigma Minúscula
Sigma minúscula

Entonces, si recordamos que la matriz varianza-covarianza se expresa como la mayúscula de sigma, será más fácil recordar su definición. 

Requisitos para que sea una matriz varianza-covarianza

Los requisitos para que una matriz sea de varianza-covarianza son los siguientes:

  • Matriz cuadrada: mismo número de filas (n) que columnas (m), entonces, n=m, y por tanto, la dimensión de esta matriz puede expresarse tanto nxm como nxn. 
  • En la diagonal principal están las varianzas: 
Varianzas De La Matriz Varianza Covarianza
Varianzas de la matriz varianza-covarianza
  • Fuera de la diagonal principal están las covarianzas: 
Covarianzas De La Matriz Varianza Covarianza
Covarianzas de la matriz varianza-covarianza

Aplicación 

La matriz varianza-covarianza es muy popular en econometría dado que se usa principalmente en el cálculo matricial de los coeficientes de la regresión lineal mediante Mínimos Cuadrados Ordinarios, entre otros usos.

En finanzas, se utiliza para tener una imagen general de la volatilidad de los activos financieros.

Expresión matemática de la varianza y la covarianza

Matemática se expresa como sigue:

  • Covarianza del elemento n=1 y m=2
Fórmula Covarianza
Cálculo covarianza para el elemento n=1 y m=2
  • Varianza del elemento n=1 y m=1
Fórmula Varianza 1
Cálculo varianza para el elemento n=m=1

Tanto la varianza como la covarianza se pueden corregir. Es decir, que el denominador sea n-1 en vez de n. Esto es debido a los grados de libertad y depende de si estamos hablando de varianzas y covarianzas poblacionales o muestrales. 

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  • Requisitos para que sea una matriz varianza-covarianza
  • Aplicación 
  • Expresión matemática de la varianza y la covarianza
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