Ortocentro de un triángulo

El ortocentro es la intersección de las tres alturas de un triángulo, pudiendo encontrarse dentro o fuera de la figura.

Cabe recordar que la altura de un triángulo es aquel segmento que parte de cada vértice del triángulo y se prolonga hacia su lado contrario, formando un un ángulo recto o de 90º. Es decir, la altura y su lado respectivo son perpendiculares.

En la figura de arriba, por ejemplo, el punto O es el ortocentro de la figura, siendo las alturas del triángulo CF, BE y AD.

Ortocentro según el tipo de triángulo

El ortocentro, según el tipo de triángulo en cuestión, tiene distintas características:

• Triángulo rectángulo: El ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice que corresponde al ángulo recto. En la figura de abajo, por ejemplo, las alturas son BF y los propios segmentos del triángulo AB y BC, siendo el ortocentro el vértice B.

Vale mencionar además que las alturas AB y BC son los catetos, es decir, los lados que forman el ángulo recto, mientras que AC es la hipotenusa.

• Triángulo obtusángulo: El ortocentro de encuentra fuera del triángulo cuando este es obtusángulo, es decir, cuando uno de los ángulos interiores de la figura es mayor a 90º.

En la imagen de abajo, por ejemplo, las alturas son AH, CI y FB, por lo que buscamos el punto de intersección de sus prolongaciones, que sería el punto O.

• Triángulo acutángulo: El ortocentro se ubica dentro de la figura cuando el triángulo es acutángulo, es decir, cuando todos sus ángulos internos son agudos o menores a 90º (ver la primera imagen de este artículo).

Triángulo órtico

El triángulo órtico es aquel que tiene como vértices los pies de las tres alturas del triángulo. Como vemos en la figura inferior, el triángulo órtico del triángulo ABC es el triángulo FGH.

Se cumple además que el ortocentro (el punto I) del triángulo ABC también es el centro de la circunferencia inscrita (contenida en) el triángulo órtico.

Cómo hallar el ortocentro de un triángulo

Supongamos que tenemos la ecuación de las rectas que contienen dos de las alturas de un triángulo que son las siguientes:

y=-137,7x-1941

y=0,6x+7

Entonces, debemos hallar en qué valores de x e y coinciden ambas rectas. Primero despejamos x igualando el lado derecho de cada ecuación:

-137,7x-1941=0,6x+7

-138,3x=1948

x=-14,0853

Luego, despejamos y en cualquiera de las dos ecuaciones:

y=(0,6x-14,0853)+7

y=-8,4512+7=-1,4512

Por lo tanto, las coordenadas del ortocentro en el plano cartesiano son (-14,0853;1,4512)