La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas (y de la lógica) que se dedica a estudiar las características de los conjuntos y las operaciones que pueden efectuarse entre ellos.
Es decir, la teoría de conjuntos es un área de estudio enfocada en los conjuntos. Por tanto, se encarga de analizar tanto los atributos que poseen, como las relaciones que pueden establecerse entre ellos. Es decir, su unión, intersección, complemento u otro.
Debemos recordar que un conjunto es una agrupación de elementos, ya sean números, letras, palabras, funciones, símbolos, figuras geométricas u otros.
Para determinar un conjunto se suele definir la característica que tienen en común sus elementos. Por ejemplo, un conjunto A con los números enteros, positivos y pares menores a 20.
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A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
Historia de la teoría de conjuntos
La historia de la teoría de conjuntos puede remontarse al trabajo de Georg Cantor, matemático alemán de origen ruso, quien es considerado el padre de dicha disciplina.
Entre los temas que estudió Cantor destaca, por ejemplo, el de los conjuntos infinitos y los conjuntos numéricos.
El primer trabajo de Cantor sobre la teoría de conjuntos data de 1874. Además, cabe mencionar que mantuvo un frecuente intercambio de ideas con el matemático Richard Dedekind, quien contribuyó al estudio de los números naturales.
Conjuntos numéricos
Los conjuntos numéricos son las distintas agrupaciones en las que se clasifican los números en función de sus distintas características. Se trata de una construcción abstracta que tiene una importante aplicación en las matemáticas.
Los conjuntos numéricos son los complejos, imaginarios, reales, irracionales, racionales, enteros y naturales, y pueden ilustrarse en el siguiente diagrama de Venn:
Álgebra de conjuntos
El álgebra de conjuntos engloba las relaciones que se pueden establecer entre ellos.
Así, destacan las siguientes operaciones:
- Unión de conjuntos: La unión de dos o más conjuntos contiene cada elemento que está contenido, al menos, en alguno de ellos.
- Intersección de conjuntos: La intersección de dos o más conjuntos incluye todos los elementos que estos conjuntos comparten o que tienen en común.
- Diferencia de conjuntos: La diferencia de un conjunto respecto a otro es a igual a los elementos del primer conjunto menos los elementos del segundo.
- Conjuntos complementarios: El complemento de un conjunto incluye todos los elementos que no están contenidos en dicho conjunto (pero que sí pertenecen a otro conjunto de referencia).
- Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos incluye todos elementos que están en uno o en otro, pero no en ambos al mismo tiempo.
- Producto cartesiano: Es una operación que da como resultado un nuevo conjunto. Contiene como elementos los pares ordenados o las tuplas (series ordenadas) de los elementos que pertenecen a dos o más conjuntos. Son pares ordenados si se trata de dos conjuntos y tuplas si son más de dos conjuntos.
