Estimación con variables instrumentales (VI)

El método de Variables Instrumentales (VI) se utiliza para solucionar el problema de endogeneidad de una o más variables independientes en una regresión lineal.

La aparición de endogeneidad en una variable indica que esta variable está correlacionada con el término de error. En otras palabras, se ha omitido una variable que está correlacionada con las otras. Hablamos de variables explicativas que presentan correlación con el término de error. Otro método muy popular para resolver el problema de la endogeneidad es el estimador de Mínimos Cuadrados en Dos Etapas (MC2E). La función principal de VI es detectar la presencia de una variable explicativa en el término de error.

Introducción al concepto

Queremos estudiar la variación de los precios de los forfaits en función del número de pistas y las aversión al riesgo de los esquiadores reflejada en la calidad del seguro. Ambas variables explicativas son variables cuantitativas.

Suponemos que incluimos la variable seguro en el término de error (u), resultando en:

Entonces, la variable seguro se convierte en variable explicativa endógena porque pertenece al término de error y, por tanto, está correlacionado con él. Como quitamos una variable explicativa, también quitamos su regresor, en este caso, B₂.

Si hubiéramos estimado este modelo con Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), hubiéramos obtenido una estimación inconsistente y sesgada para B₀ y B_k.

Podemos utilizar el Modelo 1.A si encontramos una variable instrumental (z) para pistas cumpliendo:

• Cov (z, u) = 0 => z no está correlacionada con u.

• Cov (z, pistas) ≠ 0 => z sí está correlacionada con pistas.

Esta variable instrumental (z) es exógena al Modelo 1 y, por tanto, no tiene ningún efecto parcial sobre log(forfaits). Aún así, es relevante para explicar la variación en pistas.

Contraste de hipótesis

Para saber si estadísticamente la variable instrumental (z) está correlacionada con la variable explicativa (pistas), podemos probar la condición Cov(z,pistas) ≠ 0 dada una muestra aleatoria de la población. Para ello tenemos que hacer la regresiación entre pistas y z. Utilizamos una nomenclatura distinta para diferenciar sobre qué variables se está regresando.

Interpretamos a los π₀ y π_k de la misma manera que las B₀ y B_k en las regresiones convencionales.

Entendemos π₁ = Cov (z,pistas) / Var(z)

1. Definición de la hipótesis

En este contraste queremos probar si se puede rechazar π₁ = 0 a un nivel de significación suficientemente pequeño (5%). Por tanto, si la variable instrumental (z) está correlacionada con la variable explicativa (pistas) y poder rechazar H₀.

2. Estadístico de contraste

3. Regla de rechazo

Determinamos el nivel de significación al 5%. Por tanto, nuestra norma de rechazo se basará en | t | > 1,96.

• | t | > 1,96: rechazamos H₀. Es decir, rechazamos no correlación entre z y pistas.
• | t | < 1,96: no tenemos suficientes evidencias significativas para rechazar H₀. Es decir, no rechazamos que no exista correlación entre z y pistas.

4. Conclusión

Si concluimos que π₁ = 0, estadísticamente la variable instrumental (z) no es buena aproximación para la variable endógena.