Matriz adjunta: qué es y cómo entenderla fácilmente
- Se obtiene mediante determinantes y signos de menores.
- La matriz adjunta y la original tienen el mismo tamaño.
- Adj(W) es la notación común para una matriz adjunta.
¿Qué es una matriz adjunta?
Una matriz adjunta es un concepto que se utiliza para calcular la matriz inversa de otra matriz, mediante una transformación basada en los determinantes de sus menores y su signo.
Matriz adjunta: Explicación sencilla
Para ponerlo más claro, la matriz adjunta se forma al tomar cada menor de la matriz original, calcular su determinante y luego cambiar su signo según la posición en la matriz.
Se representa como Adj(W) cuando estamos trabajando con una matriz W.
Un detalle importante es que la matriz adjunta siempre tendrá el mismo tamaño que la matriz original, es decir, si la original tiene 3 filas y 3 columnas, la adjunta también tendrá 3 filas y 3 columnas.
Por ejemplo, si tenemos una matriz W cualquiera de orden n definimos los elementos de la fila i y los elementos de la columna j de W como wij.
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Fórmula matriz adjunta
La matriz adjunta de la matriz W se obtiene a partir de:
En las matrices de orden 2, Wij es el elemento w que corresponde a la fila i y a la columna j. Entonces, det (Wij) es el elemento w de la fila i y la columna j.
En las matrices de orden mayor o igual a 3, Wij es el menor que se obtiene de eliminar la fila i y la columna j de la matriz W. Entonces, det (Wij) es el determinante del menor Wij.
Es importante tener en cuenta el cambio de signo que debemos aplicar cuando la suma de las filas y de las columnas con las que estamos trabajando suman un número impar. En el caso de que sumen un número par, el signo negativo producirá un efecto neutro sobre el menor.
Aplicaciones
La matriz adjunta se aplica para obtener la matriz inversa de una matriz con determinante distinto de cero (0). Entonces, para obtener la matriz inversa deberemos exigir que la matriz sea cuadrada e invertible, es decir, que sea una matriz regular. En cambio, para calcular la matriz adjunta solo tenemos que encontrar los menores de la matriz.
Ejemplo teórico
Matriz de orden 2
- Sustituimos los elementos de la matriz en la fórmula anterior.
Matriz de orden 3
- Sustituimos los elementos de la matriz en la fórmula anterior.
- Calculamos el determinante de cada menor.
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¿Qué es una matriz adjunta?: Es una matriz derivada de otra, utilizada para calcular su inversa.
¿Cómo se calcula una matriz adjunta?: Se calcula a partir de los determinantes de los menores de la matriz original, ajustando los signos según la posición.
¿Cuál es la diferencia entre matriz adjunta y matriz inversa?: La matriz adjunta se usa para encontrar la inversa, pero no son lo mismo; la inversa es el producto de la adjunta y el recíproco del determinante de la original.
