Vectores linealmente dependientes

Dos vectores linealmente dependientes son dos vectores que no pueden combinarse linealmente y, por tanto, no pueden formar una base en el plano.

En otras palabras, dos vectores son linealmente dependientes cuando no podemos escribirlos como una combinación lineal y, por tanto, no podrán formar una base. La combinación lineal de vectores es crear una ecuación en la que aparecen dos vectores y dos números reales. 

Fórmula

Dados los siguientes vectores y números reales cualesquiera: 

Se puede crear una combinación lineal de ambos mediante la introducción de dos números reales. Donde lambda y mu son números reales que indican el peso que tiene cada vector.

Entonces, la combinación lineal sería: 

Esta combinación lineal se puede expresar como otro vector, por ejemplo, w: 

Entonces, con la expresión anterior estamos diciendo que el vector w es combinación lineal de los vectores a y v. 

Cuando encontremos combinaciones lineales de vectores y no aparezcan números delante de los vectores, es decir, los parámetros lambda y mu, eso quiere decir que son 1.

Entonces, si dos vectores son linealmente dependientes quiere decir que no podemos expresarlos como una combinación lineal de ellos mismos:

En geometría analítica también recibe el nombre de ser dos vectores proporcionales.

Representación 

¿Qué aspecto tienen dos vectores linealmente dependientes?

Primero, representamos los vectores por separado y segundo, representamos los vectores en el mismo plano: 

Ejemplo paralelepípedo

Suponemos que tenemos tres vectores y queremos expresarlos como una combinación lineal. También sabemos que cada vector sale de un mismo vértice y constituyen las abscisas de ese vértice. La figura geométrica es un paralelepípedo.

Dado que nos informan que la figura geométrica que forman estos vectores son las abscisas de un paralelepípedo, entonces, los vectores delimitan las caras de la figura: 

Tres vectores: 

¿Cómo podemos saber si los vectores son linealmente dependientes si no nos dan información sobre sus coordenadas?

Pues haciendo uso de la lógica. Si los vectores fueran linealmente dependientes, entonces, todas las caras del paralelepípedo colapsarían. En otras palabras, serían la misma.

Por tanto, los vectores anteriores no serían linealmente dependientes porque no podrían formar un paralelepípedo.