Vectores ortogonales
Dos vectores ortogonales en el plano son dos vectores que forman un ángulo de 90 grados y su producto escalar es cero.
En otras palabras, dos vectores son ortogonales si forman un ángulo recto y, por tanto, su producto escalar es cero.
La palabra ortogonal nos puede parecer difícil y bastante técnica al principio, pero una vez comprendemos el concepto, es más fácil de recordar de lo que parece.
Ortogonal y perpendicular
Esta palabra proviene del griego antiguo y significa ángulo recto. Si pensamos en términos geométricos podemos entender un ángulo recto como dos vectores que parten del mismo punto inicial. Definiendo el vector vertical como el vector a y el vector horizontal como el vector b, podemos dibujarlos de la siguiente forma:
Los vectores comparten el mismo punto de inicio, por tanto, podemos ver que forman un ángulo recto. Entonces, podremos identificar dos vectores ortogonales si forman un ángulo recto. También podemos entender el significado de ortogonal pensando en los vectores perpendiculares.
Si repetimos la representación anterior en plano, tendrá el siguiente aspecto:
Entonces, podemos determinar si dos vectores son ortogonales mediante la representación en el plano o calculando el producto escalar. Si el resultado del producto escalar es igual a cero, entonces los vectores son ortogonales.
En niveles más avanzados de geometría se diferencia entre vectores ortogonales y perpendiculares en función de si se trata de un espacio euclídeo o no. Dado que estamos en un nivel básico de geometría, podemos igualar ortogonalidad y perpendicularidad. De esta forma, podemos darle un toque de intelectual y hablar de ortogonalidad en vez de perpendicularidad.
Características
La idea principal de la perpendicularidad de dos vectores es que su producto escalar es 0. Entonces, la multiplicación de las coordenadas de los vectores será:
La expresión se lee: “el vector b es ortogonal al vector a”.
En términos de base y combinaciones lineales, si dos vectores son ortogonales, también lo será su base.
Ejemplo
Demuestra si los siguientes vectores son vectores ortogonales.
Respuesta: los dos vectores anteriores no son ortogonales ya que el producto escalar de ambos es diferente de cero. Si el resultado del producto escalar hubiera sido cero, entonces los dos vectores formarían un ángulo de noventa grados.
Para que el producto escalar sea cero, basta con que las coordenadas de los vectores sean complementarias. En otras palabras, si la primera coordenada del vector a es cero y la segunda coordenada del vector b es cero, su producto escalar será cero y, por tanto, formarán un ángulo de noventa grados.
