Mediatriz de un triángulo

La mediatriz de un triángulo es aquella recta que, siendo perpendicular a uno de los lados del triángulo, divide el segmento o lado al que corta en dos partes iguales.

Es decir, la mediatriz atraviesa uno de los lados del triángulo, formando cuatro ángulos rectos o de 90º, y dividiendo dicho lado en dos segmentos de igual longitud.

La mediatriz es una de las líneas notables de un triángulo, junto con la bisectriz.

Cabe notar que todo triángulo tiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados.

Otro asunto importante a destacar es que las tres mediatrices del triángulo se cruzan en el circuncentro de la figura. Este es el punto medio de la circunferencia que contiene al triángulo. Podemos ver con más claridad lo explicado en la figura de abajo donde D es el circuncentro.

Una característica relevante del circuncentro es además que es equidistante a los tres vértices del triángulo, es decir, su distancia es la misma respecto a cada uno de sus vértices.

En la imagen superior, observamos que las mediatrices son las que pasan por los puntos E,F, y G, y son puntos equidistantes con los extremos de los segmentos (como explicamos previamente). Así, se cumple que:

AE=EC, BF=FA, BG=GC

Cabe recalcar que la mediatriz es una recta, es decir, una secuencia de puntos que se prolonga de forma indefinida hacia una sola dirección (no tiene curvas).

Ejemplo de mediatriz

Supongamos que en la figura inferior, la recta que pasa por el punto D y G es la mediatriz del segmento BC. Asimismo, se sabe que el segmento DG mide 3 metros, el segmento DC, 5 metros, y el segmento AB, 6 metros. ¿Cuál es el perímetro y el área del triángulo?

Primero, debemos recordar que podemos aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo DGC.

Como vemos en e desarrollo, debemos recordar que BG es igual a GC, por lo que BC es el doble de GC.

Ahora, si conozco el segmento AB, puede aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC:

Entonces, puedo hallar el perímetro (P) y el área (A) del triángulo, aplicando la fórmula de Herón y siendo s el semiperímetro: